Question

Знайдіть область значення функції f(x)=√x²-1​

Answer 1

Відповідь: Область значень функції f(x) = √(x^2 - 1) - це всі дійсні числа, окрім -1 і 1, і також включає значення 0 в точках -1 і 1.

Покрокове пояснення: Для знаходження області значень функції f(x) = √(x^2 - 1), спростимо задачу.

Очевидно, що підкореневий вираз x^2 - 1 повинен бути не менше нуля, оскільки дійсний корінь з від'ємного числа не існує. Тобто:

x^2 - 1 ≥ 0

Тепер розв'яжемо це нерівність:

x^2 ≥ 1

Для знаходження області значень розглянемо два випадки:

x^2 > 1: В цьому випадку, якщо x^2 більше 1, то √(x^2 - 1) буде існувати. Це означає, що x може бути будь-яким числом, крім -1 і 1. Область значень функції f(x) в цьому випадку - всі дійсні числа, окрім -1 і 1.

x^2 = 1: Якщо x^2 рівне 1, то √(x^2 - 1) = 0. Тобто, якщо x рівний -1 або 1, то значення функції f(x) буде рівним 0.

Отже, область значень функції f(x) = √(x^2 - 1) - це всі дійсні числа, окрім -1 і 1, і також включає значення 0 в точках -1 і 1.

Answer 2

Для знаходження області значення функції f(x) = √(x² - 1), спершу ми маємо врахувати область визначення цієї функції, оскільки значення функції зазвичай залежать від її домену. У цьому випадку, підкореневий вираз x² - 1 повинен бути не менше нуля, оскільки нам не дозволено взяти корінь із від'ємного числа. Отже, маємо:

x² - 1 ≥ 0

Тепер знайдемо корені цього нерівності:

x² - 1 ≥ 0

(x - 1)(x + 1) ≥ 0

Ця нерівність змінює знак при x < -1, x = -1, і x > 1. Тобто, функція f(x) = √(x² - 1) може бути визначена на таких інтервалах:

1. x ∈ (-∞, -1) - для x < -1
2. x ∈ [-1, 1] - для x = -1
3. x ∈ (1, ∞) - для x > 1

Область значення функції буде складатися з усіх можливих значень f(x), коли x належить цим інтервалам. Формально вона буде виглядати так:

1. Для x < -1: f(x) ∈ [0, ∞)
2. Для x = -1: f(x) = 0
3. Для x > 1: f(x) ∈ [0, ∞)

Отже, область значення функції f(x) = √(x² - 1) - це всі додатні числа та нуль, тобто [0, ∞).