Question

ДОПОМОЖІТЬ ТЕРМІНОВО Знайти похідну функцій: y=e^x*cosx y=2x/1-x^2 y=0,7^arctgx

Answer 1

Привет!

1. y = e^x*cosx

Применим правило произведения функций (f*g)' = f'*g + f*g':

y' = (e^x*(-sinx)) + (cosx*e^x)

y' = e^x(cosx - sinx)

2. y = (2x)/(1-x^2)

Применим правило частного дифференцирования (f/g)' = (f'*g - f*g')/g^2:

y' = [(2*(1-x^2) - 2x*(-2x)) / (1-x^2)^2]

y' = [(2 - 2x^2 + 4x^2) / (1-x^2)^2]

y' = [(2 + 2x^2) / (1-x^2)^2]

3. y = 0,7^arctg(x)

Применим правило сложной функции (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x):

y' = ln(0,7)*0,7^arctg(x) * (1/(1+x^2))

Answer 2

Знайдемо похідні функцій, які ви навели:

1. Для функції y = e^x * cos(x):

   Застосуємо правило добутку (похідна добутку):

   (e^x * cos(x))' = e^x * cos(x) + e^x * (-sin(x))

   Після спрощення маємо:

   y' = e^x * (cos(x) - sin(x))

2. Для функції y = 2x / (1 - x^2):

   Застосуємо правило ділення (похідна частки):

   (2x / (1 - x^2))' = (2x)' * (1 - x^2) - 2x * (1 - x^2)'

   Далі обчислимо похідні кожного доданку:

   (2x)' = 2 (1 - x^2)' = 1 - 2x

   Підставимо ці значення назад в рівняння:

   y' = (2 * (1 - x^2) - 2x) / (1 - x^2)

   Після спрощення маємо:

   y' = (2 - 2x - 2x) / (1 - x^2)

   y' = (2 - 4x) / (1 - x^2)

3. Для функції y = 0.7^arctan(x):

   Застосуємо правило ланцюга (похідна композиції функцій):

   y' = (0.7^arctan(x))' = (0.7^(arctan(x)))' = (0.7^u)' * (u').

   Де u = arctan(x).

   Похідна 0.7^u відносно u:

   (0.7^u)' = ln(0.7) * 0.7^u

   Похідна arctan(x) відносно x:

   (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)

   Тепер підставимо ці значення:

   y' = ln(0.7) * 0.7^(arctan(x)) * (1 / (1 + x^2))

   Можливо, є варіації спрощення цього виразу, але це похідна функції 0.7^arctan(x).