Question

Произвести полное исследование функции (по схеме) и построить график F(x) = - 6x + 2x3^3

Answer 1

Ответ:

Шаг 1. Нахождение области определения функции

Так как в выражении F(x) = - 6x + 2x^3 нет никаких ограничений на переменную x то область определения функции равна всей числовой прямой: D(F) = (-∞ ∞).

Шаг 2. Нахождение точек пересечения с осями координат

Для нахождения точек пересечения с осями координат решим уравнение F(x) = 0:

- 6x + 2x^3 = 0

Вынесем общий множитель:

- 2x(3 - x^2) = 0

Таким образом F(0) = 0 F(∛3) = -4∛3 и F(-∛3) = 4∛3.

Точки пересечения с осями координат: (0 0 (∛3 -4∛3) и (-∛3 4∛3).

Шаг 3. Нахождение интервалов знакопостоянства функции

Установим знак функции на каждом из интервалов между точками пересечения с осями координат:

1) x < -∛3 : F(x) < 0

2) -∛3 < x < 0 : F(x) > 0

3) 0 < x < ∛3 : F(x) < 0

4) x > ∛3 : F(x) > 0

Шаг 4. Нахождение экстремумов функции и интервалов выпуклости/вогнутости

Найдём производную функции:

F'(x) = -6 + 6x^2

Выражение F'(x) = 0 при x = ±1. Таким образом F(-1) = 4 и F(1) = -4. Значит точки (-1 4) и (1 -4) - это точки экстремума.

Найдя вторую производную получим:

F''(x) = 12x

Так как F''(x) > 0 при x > 0 функция F(x) выпукла вверх на интервале (0 ∞). Также F''(x) < 0 при x < 0 что означает что функция F(x) вогнута вниз на интервале (-∞ 0).

Шаг 5. Нахождение асимптот функции

Так как функция F(x) не имеет никаких ограничений на переменную x она не имеет вертикальных асимптот.

Для нахождения горизонтальной асимптоты найдём предел функции при x → ±∞:

lim F(x) = lim (-6x + 2x^3) = -∞ при x → -∞

lim F(x) = lim (-6x + 2x^3) = +∞ при x → +∞

Таким образом функция F(x) не имеет горизонтальных асимптот.

Answer 2

Для проведения полного исследования функции F(x) = -6x + 2x^3, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производные функции.
3. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
4. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости.
5. Найти пределы при x стремящемся к плюс/минус бесконечности.
6. Построить график функции.

Давайте начнем с каждого этапа:

1. Область определения: Функция F(x) = -6x + 2x^3 определена для всех действительных чисел x, так как в выражении нет никаких ограничений на x.

2. Производные функции: Найдем производные F'(x) и F''(x):

   F'(x) = d/dx (-6x + 2x^3) = -6 + 6x^2 F''(x) = d^2/dx^2 (-6 + 6x^2) = 12x

3. Точки экстремума и интервалы монотонности: Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную F'(x) к нулю и решаем уравнение:

   -6 + 6x^2 = 0 6x^2 = 6 x^2 = 1 x = ±1

   Точки x = -1 и x = 1 являются критическими точками. Теперь мы можем анализировать интервалы монотонности с использованием знаков производной:

   -6 + 6x^2 < 0 при x < -1 -6 + 6x^2 > 0 при -1 < x < 1 -6 + 6x^2 < 0 при x > 1

   Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и возрастает на интервале (-1, 1).

4. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости: Для нахождения точек перегиба, мы рассмотрим вторую производную F''(x). Точки перегиба будут там, где F''(x) = 0 или не существует. В данном случае, F''(x) = 12x, и она равна нулю только при x = 0. Это точка перегиба.

   Теперь анализируем интервалы выпуклости и вогнутости:

   • F''(x) > 0 при x > 0 (функция выпуклая вправо от точки перегиба)
   • F''(x) < 0 при x < 0 (функция вогнута влево от точки перегиба)

5. Пределы: Предел F(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, и предел при x стремящемся к минус бесконечности равен минус бесконечности.

6. Построение графика: Теперь мы можем построить график функции F(x) = -6x + 2x^3, используя полученную информацию о точках экстремума, интервалах монотонности, точках перегиба и пределах. График будет вогнут влево от точки перегиба x = 0, а после точки перегиба будет выпуклым вправо. Функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞) и возрастает на интервале (-1, 1).

Таким образом, мы провели полное исследование функции F(x) = -6x + 2x^3 и построили её график.