Question

Если f и t — четные функции, является ли f + t четным? Если f и t обе функции нечетные, является ли f + t нечетным? Что, если f четное, а t нечетны? Обоснуйте свои ответы.

Answer 1

Ответ:Для понимания того, какие функции являются четными и нечетными, и какие свойства им соответствуют при операции сложения, давайте рассмотрим следующие определения:

1. Функция f(x) называется **четной**, если для любого x выполняется следующее: f(-x) = f(x).

2. Функция t(x) называется **нечетной**, если для любого x выполняется следующее: t(-x) = -t(x).

Теперь рассмотрим ваши вопросы:

1. **Если f и t — четные функции, является ли f + t четным?**

  Да, сумма двух четных функций также является четной функцией. Объяснение: Пусть f(x) и t(x) - четные функции. Тогда для любого x выполняется f(-x) = f(x) и t(-x) = t(x). Теперь рассмотрим сумму (f + t)(x): (f + t)(-x) = f(-x) + t(-x) = f(x) + t(x). Таким образом, (f + t)(-x) = (f + t)(x), что и означает, что сумма f + t является четной функцией.

2. **Если f и t обе функции нечетные, является ли f + t нечетным?**

  Да, сумма двух нечетных функций также является нечетной функцией. Объяснение: Пусть f(x) и t(x) - нечетные функции. Тогда для любого x выполняется t(-x) = -t(x) и f(-x) = -f(x). Теперь рассмотрим сумму (f + t)(x): (f + t)(-x) = f(-x) + t(-x) = -f(x) - t(x). Таким образом, (f + t)(-x) = -(f + t)(x), что и означает, что сумма f + t является нечетной функцией.

3. **Что, если f четное, а t нечетное?**

  В этом случае сумма f + t может быть как четной, так и нечетной функцией, в зависимости от конкретных функций f и t. Это обусловлено тем, что четность и нечетность функции зависят от их конкретных свойств и определений. Например, если f(x) = x^2 (четная функция) и t(x) = x^3 (нечетная функция), то их сумма (f + t)(x) = x^2 + x^3 не является ни четной, ни нечетной функцией. Для того чтобы точно определить четность или нечетность суммы, необходимо знать конкретные выражения для функций f и t.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим различные случаи:

1. Обе функции четные (f и t): Если f(x) и t(x) являются четными функциями, то для любого x выполняется равенство f(x) = f(-x) и t(x) = t(-x). Тогда, если сложить две четные функции: $(f + t)(x) = f(x) + t(x) = f(-x) + t(-x) = (f + t)(-x)$ Это означает, что $f + t$ также является четной функцией.

2. Обе функции нечетные (f и t): Если f(x) и t(x) являются нечетными функциями, то для любого x выполняется равенство f(x) = -f(-x) и t(x) = -t(-x). Тогда, если сложить две нечетные функции: $(f + t)(x) = f(x) + t(x) = -f(-x) - t(-x) = -(f + t)(-x)$ Это означает, что $f + t$ является нечетной функцией.

3. f четное, t нечетное: Если f(x) - четная функция и t(x) - нечетная функция, то для любого x выполняется f(x) = f(-x) и t(x) = -t(-x). Тогда, если сложить четную и нечетную функции: $(f + t)(x) = f(x) + t(x) = f(-x) - t(-x) = (f + t)(-x)$ В этом случае $f + t$ также является четной функцией.

Итак:

• Если обе функции (f и t) одного типа (четные или нечетные), то их сумма также будет того же типа.
• Если одна функция четная, а другая нечетная, то их сумма будет четной функцией.

Это свойство четности и нечетности функций широко используется при анализе функций в математике.