Question

Y=x^(2)+(1/x) найти точки экстремума и перегиба функции

Answer 1

Y`=(x^(2)+(1/x))`=2x - 1/x^2
Y`=0    2x - 1/x^2=0 

Answer 2

Для нахождения точек экстремума и точек перегиба функции $y = x^2 + \frac{1}{x}$, нам нужно найти производные функции и проанализировать их значения.

1. Начнем с нахождения первой и второй производных функции:

Первая производная: $y' = 2x - \frac{1}{x^2}$

Вторая производная: $y'' = 2 + \frac{2}{x^3}$

2. Теперь найдем точки, в которых первая производная равна нулю, так как точки экстремума будут находиться в этих точках:

$2x - \frac{1}{x^2} = 0$

Умножим уравнение на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:

$2x^3 - 1 = 0$

$2x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Теперь у нас есть значение $x$ для точек экстремума. Чтобы найти соответствующие значения $y$, подставим $x$ обратно в исходное уравнение:

$y = \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^2 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}$

$y = \frac{1}{2} + 2\sqrt[3]{2}$

Теперь у нас есть координаты точек экстремума. Для определения их типа (минимум или максимум), можно использовать вторую производную. Если $y''$ положительная, то это минимум, а если отрицательная, то максимум.

$y'' = 2 + \frac{2}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3}$

$y'' = 2 + 2\sqrt[3]{4}$

Так как $2\sqrt[3]{4}$ положительное число, то в точке $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ у нас минимум функции.

3. Теперь найдем точки перегиба. Точки перегиба будут там, где вторая производная $y''$ равна нулю или не существует. В данном случае, $y''$ всегда существует и положительно, поэтому у функции $y = x^2 + \frac{1}{x}$ нет точек перегиба.

Итак, у вас есть точка экстремума при $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ с минимумом функции $y = \frac{1}{2} + 2\sqrt[3]{2}$, но у функции нет точек перегиба.