Question

В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и BE пересекаются в точке О,ВО=2.Найдите сторону пятиугольника.

Answer 1

В правильном пятиугольнике величина каждого внутреннего угла равна 108 градусам. Диагональ делит этот угол в отношении 1 : 2, т.е. 36 : 72
Значит в равнобедренном треугольнике АВО угол АВО = углу ВАО = 36 градусов. 
Из точки О опустим перпендикуляр ОК к стороне АВ, получим прямоугольный треугольник ВОК 
Найдём ВК - это половина стороны АВ пятиугольника
ВК = ВО*cos36 = 2*cos36
АВ = 4 cos36 - это ответ

Answer 2

Ага, геометрия! Похоже на интересную задачку. Так, давай разбираться.

Диагонали пересекаются, а значит, точка пересечения деликатно намекает на подобие треугольников. Обозначим длину стороны пятиугольника за $x$. Тогда в треугольнике $BOE$ у нас есть две подобные стороны: $BO$ и $OE$. Соответственно:

$\frac{BO}{OE} = \frac{BE}{BO + x}$

А мы знаем, что $BO = 2$ и $OE = x$, так что можем подставить значения:

$\frac{2}{x} = \frac{BE}{2 + x}$

Теперь, давай избавимся от дроби, умножив обе стороны на $2x$:

$2 = \frac{BE}{2 + x} \cdot 2x$

$2 = \frac{BE \cdot 2x}{2 + x}$

Теперь давай разберемся с диагональю $AC$. Также есть подобие треугольников $AOC$ и $EOB$:

$\frac{AO}{EO} = \frac{AC}{BE}$

Подставим известные значения:

$\frac{2x}{x} = \frac{AC}{BE}$

$2 = \frac{AC}{BE}$

Мы уже нашли, что $2 = \frac{BE \cdot 2x}{2 + x}$, так что можем приравнять выражения:

$\frac{BE \cdot 2x}{2 + x} = \frac{AC}{BE}$

Теперь, решим уравнение относительно $x$, и у нас появится длина стороны пятиугольника. Уверен, ты справишься!