Question

Возведите в степень по формуле Муавра: (4+i4)5

Answer 1

Перейдем к тригонометрической форме:
  Обозначим $z=4+4i$.
Модуль комплексного числа: $|z|= \sqrt{4^2+4^2}=4 \sqrt{1+1}=4 \sqrt{2}$

$\displaystyle z=4+4i=4\sqrt{2} \bigg( \frac{1}{\sqrt{2} }+ \frac{1}{\sqrt{2} } i\bigg)=4\sqrt{2} \bigg(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\bigg)$

Окончательно имеем

  $(4+4i)^5=\displaystyle\bigg(4\sqrt{2} \bigg(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\bigg) \bigg)^5=(4\sqrt{2})^5 \bigg(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\bigg) =\\ \\ \\ =4096\sqrt{2} \bigg(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\bigg)$

Answer 2

Чтобы возведение в степень по формуле Муавра было проще, давайте сначала представим комплексное число (4 + i4) в тригонометрической форме. Затем мы можем использовать формулу Муавра для возведения в степень.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид r(cosθ + isinθ), где r - модуль числа, а θ - аргумент числа.

Для числа (4 + i4) мы можем найти модуль и аргумент следующим образом:

Модуль r: r = √(Re^2 + Im^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Аргумент θ: θ = arctan(Im/Re) = arctan(4/4) = arctan(1) = π/4

Теперь, когда у нас есть представление числа (4 + i4) в тригонометрической форме, мы можем использовать формулу Муавра для возведения этого числа в степень 5.

Формула Муавра: (z^n) = r^n * (cos(nθ) + isin(nθ))

Подставляя значения числа и степени в формулу Муавра, мы получаем:

(4 + i4)^5 = (4√2)^5 * (cos(5π/4) + isin(5π/4))

Вычисляя значения, получаем:

(4 + i4)^5 ≈ 1024 * (-0.7071 - 0.7071i)

Таким образом, результат возведения числа (4 + i4) в степень 5 по формуле Муавра составляет примерно -724.07 - 724.07i.