Question

О натуральном числе n известно, что последние цифры (цифры единиц) чисел n и n²⁰⁰⁸ совпадают. Обязательно ли совпадают последние цифры чисел n и n³?

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Контрпример:

пусть число n оканчивается на 8. Выясним, на какие цифры оканчивается это число в различных степенях:

1) ...8¹=...8

2) ...8²=...4

3) ...8³=...2

4) ...8⁴=...8

на 4-й раз цикл будет повторяться, то есть существует 3 возможных цифры на конце - это 8, 4 и 2.

2008:3=669 (остаток 1)

остаток показывает какая по счету цифра из этих трех будет в конце:

Остаток 1 - на конце 8

Остаток 2 - на конце 4

Остаток 0 (так как при делении на 3 могут быть только остатки 0, 1 и2 ) - на конце 8.

То есть, если n оканчивается на 8, то и n²⁰⁰⁸ оканчивается на 8.

Но n³=...8³=...2 ≠ 8, значит ответ: нет, не обязательно

Answer 2

Нет, из того, что последние цифры (единицы) чисел n и n²⁰⁰⁸ совпадают, не следует, что последние цифры чисел n и n³ совпадают.

Рассмотрим пример: пусть n = 2. Тогда:

• n²⁰⁰⁸ заканчивается на 2, так как четное число в степени 2008 всегда заканчивается на 2.
• n³ = 2³ = 8, и его последняя цифра - 8.

В этом случае последние цифры чисел n и n³ не совпадают, хотя последние цифры чисел n и n²⁰⁰⁸ совпадают. Таким образом, совпадение последних цифр чисел n и n²⁰⁰⁸ не означает автоматически совпадение последних цифр чисел n и n³.