Question

Найдите кубический многочлен с целыми коэффициентами, такой, что для любых трех вещественных a, b, c удовлетворяющих равенствам a+b+c=2 и , верно f(a)=f(b)=f(c)

Answer 1

........................

Answer 2

Для создания кубического многочлена с целыми коэффициентами, который удовлетворяет данным условиям, мы можем использовать следующий многочлен:

$f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) + k,$

где $k$ - целое число. Этот многочлен будет иметь целые коэффициенты, так как произведение целых чисел всегда является целым числом.

Теперь давайте проверим, что он удовлетворяет заданным условиям:

1. $f(a) = (a - a)(a - b)(a - c) + k = k$
2. $f(b) = (b - a)(b - b)(b - c) + k = k$
3. $f(c) = (c - a)(c - b)(c - c) + k = k$

По условию задачи, $f(a) = f(b) = f(c)$ для любых $a, b, c$, удовлетворяющих $a + b + c = 2$. Таким образом, многочлен $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) + k$ подходит для данной задачи, и любое целое число $k$ будет подходящим значением для этого многочлена.