Question

Дана функция f(x)=2x^3+3x^2+1 а) найдите промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1] в) точки максимума и минимума функции

Answer 1

f`(x)=6x^2+6x

6x^2+6x=0

x(6x+6)=0

x1=0

x2=-1

x1 и x2-критические точки

Возрастаетx∈(-∞;-1)

Убываетx∈(-1;0)

Возрастает x∈(0;+∞)

ymin=1 при x=0

ymax=6 при x=1

ymax=+∞

ymin=-∞

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$, нужно найти производную функции и определить ее знаки.

a) Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 6x^2 + 6x$

Теперь определим, когда производная положительна ($f'(x) > 0$) и когда отрицательна ($f'(x) < 0$). Решим уравнение:

$6x^2 + 6x = 0$

Факторизуем:

$6x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x = 0$ и $x = -1$. Теперь проверим знаки производной в интервалах $(-∞, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +∞)$:

• В интервале $(-∞, -1)$ производная положительна ($f'(x) > 0$).
• В интервале $(-1, 0)$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$).
• В интервале $(0, +∞)$ производная снова положительна ($f'(x) > 0$).

Итак, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(-∞, -1)$ и $(0, +∞)$ и убывает на интервале $(-1, 0)$.

b) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1, 1]$, нужно найти значения функции в точках $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$, а также сравнить их.

Для $x = -1$: $f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

Для $x = 0$: $f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1$

Для $x = 1$: $f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 1]$ равно 1 (достигается при $x = 0$), а наибольшее значение равно 6 (достигается при $x = 1$).

в) Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно рассмотреть значения производной в точках, где она равна нулю ($f'(x) = 0$). Мы уже нашли, что производная $f'(x) = 6x^2 + 6x$. Решим уравнение:

$6x^2 + 6x = 0$

Факторизуем:

$6x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x = 0$ и $x = -1$. Теперь найдем значения функции в этих точках и сравним их:

Для $x = -1$: $f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

Для $x = 0$: $f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1$

Таким образом, точка минимума функции находится в точке $(-1, 2)$, а точка максимума функции находится в точке $(0, 1)$.