Question

Знайти екстремум функції f(x) F(x)=4x^2-x^4

Answer 1

Вот так как то .
Примерно по такому принципу решается

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $f(x) = 4x^2 - x^4$, спершу знайдемо похідну цієї функції та визначимо її нулі. Після цього ми зможемо визначити, чи це мінімуми чи максимуми.

1. Знайдемо похідну $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - x^4) = 8x - 4x^3.$

2. Тепер знайдемо нулі похідної $f'(x)$, розв'язавши рівняння $8x - 4x^3 = 0$: $4x(2 - x^2) = 0.$

Це рівняння має три розв'язки:

• $x = 0$
• $x = 2$
• $x = -2$

3. Тепер ми маємо знайдені критичні точки. Щоб визначити, чи це мінімуми чи максимуми, використовуємо другу похідну, яка дасть нам інформацію про форму кривої.

Знайдемо другу похідну $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx}(8x - 4x^3) = 8 - 12x^2.$

4. Значення другої похідної в кожній критичній точці:

• $f''(0) = 8 - 12(0)^2 = 8 > 0$, отже, у точці $x = 0$ маємо мінімум.
• $f''(2) = 8 - 12(2)^2 = 8 - 48 = -40 < 0$, отже, у точці $x = 2$ маємо максимум.
• $f''(-2) = 8 - 12(-2)^2 = 8 - 48 = -40 < 0$, отже, у точці $x = -2$ також маємо максимум.

Отже, ми маємо два максимуми у точках $x = 2$ і $x = -2$, і мінімум у точці $x = 0$. Їх відповідні значення функції $f(x)$ будуть:

• Максимум: $f(2) = 4(2)^2 - (2)^4 = 16 - 16 = 0$.
• Максимум: $f(-2) = 4(-2)^2 - (-2)^4 = 16 - 16 = 0$.
• Мінімум: $f(0) = 4(0)^2 - (0)^4 = 0$.