Question

Множество решений неравенства log7log1/10 (x-2)<0

Answer 1

Ответ:.................................

Answer 2

Чтобы найти множество решений данного неравенства, начнем с его анализа.

Исходное неравенство:

log₇(log₁₀(x-2)) < 0

Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. log₁₀(x-2) - логарифм с основанием 10. Этот логарифм определен только для положительных аргументов (x-2 > 0), поэтому:

x - 2 > 0

Теперь мы можем найти множество допустимых значений x:

x > 2

2. log₇(...) - логарифм с основанием 7. Чтобы понять, когда он меньше нуля, давайте рассмотрим возможные случаи:

a) Если значение аргумента внутреннего логарифма (log₁₀(x-2)) больше 1, то log₇(...) положителен.

log₁₀(x-2) > 1

b) Если значение аргумента внутреннего логарифма (log₁₀(x-2)) равно 1, то log₇(...) равен 0.

log₁₀(x-2) = 1 x - 2 = 10¹ x - 2 = 10 x = 12

c) Если значение аргумента внутреннего логарифма (log₁₀(x-2)) между 0 и 1, то log₇(...) отрицателен.

0 < log₁₀(x-2) < 1

Теперь у нас есть два случая:

1. x > 12 (следуя из x > 2)
2. 0 < log₁₀(x-2) < 1

Теперь объединим эти два случая:

1. x > 12 (следуя из x > 2)
2. 0 < log₁₀(x-2) < 1

Теперь давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. x > 12: В этом случае log₁₀(x-2) > 1, и log₇(...) положителен. Следовательно, это удовлетворяет неравенству.

2. 0 < log₁₀(x-2) < 1: В этом случае log₁₀(x-2) находится между 0 и 1, и log₇(...) отрицателен. Следовательно, это тоже удовлетворяет неравенству.

Таким образом, множество решений данного неравенства - это:

x > 12

Обратите внимание, что нам не пришлось учитывать случай, когда log₁₀(x-2) равен 1, потому что это приводит к точке x = 12, и она уже учтена в первом случае (x > 12).