Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-2 y=x^2-2x+4

Answer 1

Пусть первая функция будет (1), а вторая - (2). Построим их графики. Заметим, что они пересекаются в точках (1; 3) и (3; 7). Тогда, чтобы найти площадь фигуры, можно из площади под графиком (1) вычесть площадь под графиком (2) на промежутке [1; 3]. Площадь под графиком функции - это определённый интеграл на заданном промежутке.

$\int\limits^3_1 {-x^2+6x-2} \, dx \\ \int\ {-x^2+6x-2} \ dx=-\frac{x^3}{3}+3x^2-2x = f(x)\\ S_{1}=f(3)-f(1)=-\frac{3^3}{3}+3*3^2-2*3-(-\frac{1^3}{3}+3*1^2-2*1)= \frac{34}{3}$

$\int\limits^3_1 {x^2-2x+4} \, dx\\ \int\ {x^2-2x+4} \ dx =\frac{x^3}{3}-x^2+4x=g(x)\\S_{2}=g(3)-g(1)= \frac{3^3}{3}-3^2+4*3-(\frac{1^3}{3}-1^2+4*1)= \frac{26}{3}$

$S=S_{1}-S_{2}=\frac{34}{3}-\frac{26}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл разности функций на интервале между этими точками. В данном случае, мы имеем две кривые:

1. y = -x^2 + 6x - 2
2. y = x^2 - 2x + 4

Для начала найдем точки их пересечения, решив уравнение:

-x^2 + 6x - 2 = x^2 - 2x + 4

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

0 = 2x^2 - 8x + 6

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

0 = x^2 - 4x + 3

Теперь попробуем разложить это уравнение на множители:

0 = (x - 3)(x - 1)

Отсюда получаем две точки пересечения:

1. x = 1
2. x = 3

Теперь мы знаем, что интервал, на котором мы будем вычислять интеграл, равен [1, 3]. Теперь найдем разность функций на этом интервале:

F(x) = (x^2 - 2x + 4) - (-x^2 + 6x - 2) F(x) = x^2 - 2x + 4 + x^2 - 6x + 2 F(x) = 2x^2 - 8x + 6

Теперь вычислим определенный интеграл функции F(x) на интервале [1, 3]:

Площадь = ∫[1, 3] (2x^2 - 8x + 6) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [2/3 * x^3 - 4x^2 + 6x] от 1 до 3

Площадь = [(2/3 * 3^3 - 4 * 3^2 + 6 * 3) - (2/3 * 1^3 - 4 * 1^2 + 6 * 1)]

Площадь = [(2/3 * 27 - 4 * 9 + 18) - (2/3 * 1 - 4 * 1 + 6)]

Площадь = [(54/3 - 36 + 18) - (2/3 - 4 + 6)]

Площадь = [(18 - 36 + 18) - (2/3 - 4 + 6)]

Площадь = [54 - 36 - 2/3 + 4 - 6]

Площадь = (54 - 36) - (2/3 - 6)

Площадь = 18 - (-16/3)

Площадь = 18 + 16/3

Площадь = 54/3 + 16/3

Площадь = (54 + 16) / 3

Площадь = 70 / 3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 6x - 2 и y = x^2 - 2x + 4, на интервале [1, 3] равна 70/3.