Question

Построить график и иследовать функцию у=x/(x+2)^2 СРОЧНО.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. Разрыв при Х = -2.

2) Y(0) = 0 - пересечение с осью У

3) Пересечения с осью Х - нет.

4) Первая производная.

$Y'(x)=\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{2x}{(x+2)^3}=0$

5) Локальный экстремум: Ymax(2) = 1/8 = 0.125

5) Вторая производная.

$Y"(x)=-\frac{4}{(x+2)^3}+\frac{6x}{(x+2)^4}=0$

6) Точка перегиба Х = 4.

7) Рисунок с графиком функции в приложении.

Answer 2

Конечно, давайте построим график функции $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ и проведем некоторое исследование этой функции. Для начала, давайте построим график:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определяем функцию
def f(x):
    return x / (x + 2)**2

# Генерируем значения x
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Вычисляем значения y
y = f(x)

# Строим график
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = \\frac{x}{(x+2)^2}$', color='blue')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции $f(x) = \\frac{x}{(x+2)^2}$')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()

Теперь давайте проведем некоторое исследование функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$ кроме $x = -2$, так как в знаменателе есть $(x+2)^2$ и деление на ноль не определено.

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: Функция имеет вертикальную асимптоту при $x = -2$ из-за знаменателя $(x+2)^2$.
   • Горизонтальная асимптота: Функция не имеет горизонтальной асимптоты, так как степень $x$ в числителе и знаменателе одинаковая.

3. Поведение на бесконечности:

   • При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ функция стремится к нулю.

4. Нули функции:

   • Ноль функции $f(x) = 0$ достигается при $x = 0$.

5. Максимумы и минимумы:

   • Функция не имеет максимумов или минимумов на всей области определения.

6. Интервалы возрастания и убывания:

   • Функция возрастает на интервалах $(-2, +\infty)$ и $(-\infty, -2)$.
   • Функция убывает на интервале $(-\infty, -2)$.

Это основные характеристики функции $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ и её графика.