Question

Знайти розв'язок рівняння: 1+у^2=xyy' y(2)=1

Answer 1

$1+y^2=xyy' \\ \frac{yy'}{1+y^2} =1/x \\ \frac{y \frac{dy}{dx} }{1+y^2} =1/x \\ \int\limits \frac{ydy}{1+y^2} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1+y^2)}{1+y^2}=ln|x|+ln|C| \\ ln( \sqrt{1+y^2} )=ln|Cx| \\ \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} =C$
Чтобы найти частное решение подставим x=2, y=1 в найденный интеграл и получим С=√(2)/2. Таким образом частное решение имеет вид:
$\frac{\sqrt{1+y^2}}{x} =\frac{ \sqrt{2} }{2}$

Answer 2

Для розв'язання даного рівняння потрібно використати метод диференціальних рівнянь. Давайте розглянемо його крок за кроком.

Розкладення рівняння

Почнемо з розкладення заданого рівняння на дві окремі частини. Перша частина містить добуток `1 у^2` та `xyy'`, а друга частина містить `y(2)`, що дорівнює 1. Тому рівняння можна записати таким чином:

1 у^2 + xyy' = 1

Перенесення термінів

Для спрощення рівняння перенесемо термін `xyy'` на ліву сторону рівняння:

1 у^2 - xyy' = 1 - xyy'

Використання методу диференціювання

Давайте застосуємо метод диференціювання до обох частин рівняння.

Ліва сторона рівняння: (d/dx)(1 у^2) = 2у(du/dx)

Права сторона рівняння: (d/dx)(1 - xyy') = -yy' - xyy''

Підстановка вихідних значень

Тепер підставимо вихідні значення рівняння в обидві частини:

2у(du/dx) = -yy' - xyy'

Вирішення рівняння

Для отримання розв'язку потрібно вирішити диференціальне рівняння, яке отримали. Це можна зробити, наприклад, за допомогою методу розділення змінних або методу інтегрування за частинами.

Застосуємо метод розділення змінних:

2у(du/dx) = -yy' - xyy'

Розділимо це рівняння на обидві частини на `y(2)`:

2(du/dx) = -y'/y - xy'

Застосування методу розділення змінних

Тепер ми можемо застосувати метод розділення змінних, розділивши змінні `x` та `y`:

2/y dy = -1/(2u + x) dx

Інтегрування

Проінтегруємо обидві частини рівняння:

∫(2/y) dy = ∫(-1/(2u + x)) dx

2ln|y| = -ln|2u + x| + C

Константа інтегрування

У результаті інтегрування отримали константу інтегрування `C`. Для продовження давайте позначимо її як `C1`:

2ln|y| = -ln|2u + x| + C1

Виразимо y

Виразимо `y` з отриманого рівняння:

ln|y|^2 = ln|2u + x|^(-1) + C1

|y|^2 = e^(ln|2u + x|^(-1) + C1)

|y|^2 = e^(C1) / |2u + x|

Знаходження розв'язку

Отриманий вираз можна спростити:

|y|^2 = K / |2u + x|

де `K = e^(C1)` - нова константа.

Заключні висновки

Отже, розв'язок заданого рівняння має вигляд:

|y|^2 = K / |2u + x|

де `K` - константа. Цей вираз представляє собою загальний розв'язок рівняння. Для знаходження конкретного розв'язку потрібно мати додаткову інформацію про початкові умови або обмеження задачі.