Question

График функции y=(x^2+8x+16)/(x+3) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

Answer 1

Находим производную заданной функции y=(x²+8x+16)/(x+3).
$( \frac{x^2+8x+16}{x+3})dx= \frac{(x^2+8x+16)'*(x+3)+(x^2+8x+16)*(x+3)'}{(x+3)^2} =$$\frac{(2x+8)(x+3)+(x^2+8x+16)*1}{(x+3)^2} = \frac{x^2+6x+8}{(x+3)^2}.$
Приравняем её нулю, для чего достаточно приравнять нулю числитель.
х²+6х+8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x₂=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4.
Получили 2 критические точки: х=-2 и х=-4.
Находим значения производной вблизи критических точек.
х =      -5    -4    -3.5      -2.5     -2       -1
y' =   -1.5    0      1.5       -1.5     0       1.5.
Учитываем, что функция имеет разрыв в точке х = -3.
На промежутках (-∞;-4) и (-2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, на промежутках (-4;-3) и (-3;-2), где производная отрицательна - там функция убывает.

Точки экстремума и экстремумы функции определяем по свойству производной.
Когда в критической точке производная меняет знак с + на - там максимум функции, где с - на + там минимум.
Точка максимума: х = -4, у = (16-32+16)/(-4+3) = 0.
Точка минимума: х = -2, у = (4-16+16)/(-2+3) = 4.

Answer 2

График функции y=(x^2+8x+16)/(x+3)

Для начала, давайте построим график функции y=(x^2+8x+16)/(x+3).

Шаг 1: Найдем точки, в которых функция не определена. В данном случае, функция не определена при x=-3, так как знаменатель (x+3) равен нулю.

Шаг 2: Найдем асимптоты функции. Для этого рассмотрим пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности.

- При x стремящемся к плюс бесконечности, функция стремится к y=x, так как старшие степени x^2 и 8x преобладают над остальными членами. - При x стремящемся к минус бесконечности, функция также стремится к y=x.

Шаг 3: Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого приравняем y к нулю и решим уравнение.

Шаг 4: Найдем интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума. Для этого найдем производную функции и решим уравнение f'(x)=0.

Шаг 5: Построим график функции, используя полученные данные.

Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, а также точек экстремума, найдем производную функции и решим уравнение f'(x)=0.

Производная функции y=(x^2+8x+16)/(x+3) равна:

f'(x) = (x^2 + 8x + 16)'/(x+3) - (x^2 + 8x + 16)/(x+3)'

Вычислим производную:

f'(x) = ((2x + 8)(x+3) - (x^2 + 8x + 16))/((x+3)^2)

Упростим выражение:

f'(x) = (2x^2 + 6x + 8x + 24 - x^2 - 8x - 16)/((x+3)^2)

f'(x) = (x^2 + 6x + 8x + 24 - x^2 - 8x - 16)/((x+3)^2)

f'(x) = (8x + 8)/((x+3)^2)

Теперь решим уравнение f'(x)=0:

(8x + 8)/((x+3)^2) = 0

8x + 8 = 0

8x = -8

x = -1

Таким образом, точка x=-1 является точкой экстремума функции.

Чтобы найти тип экстремума (минимум или максимум), проанализируем знак производной в окрестности точки x=-1.

Подставим значения x=-2 и x=0 в производную функции:

f'(-2) = (8(-2) + 8)/((-2+3)^2) = -8/1 = -8

f'(0) = (8(0) + 8)/((0+3)^2) = 8/9

Из полученных значений видно, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через точку x=-1. Это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x=-1.

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого проанализируем знак производной на разных интервалах.

- Если f'(x) > 0, то функция возрастает. - Если f'(x) < 0, то функция убывает.

Из производной f'(x) = (8x + 8)/((x+3)^2) видно, что производная всегда положительна, кроме точки x=-3, где она не определена. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой, кроме интервала (-3, -1), где она не определена.

Таким образом, интервалы возрастания функции: (-бесконечность, -3) и (-1, +бесконечность).

Интервалы убывания функции: отсутствуют.

Точка экстремума функции: x=-1.

Экстремум функции: локальный минимум.

График функции y=(x^2+8x+16)/(x+3)


На графике видно, что функция имеет асимптоту y=x и пересекает ось ординат в точке (0, 16/3). Также видно, что функция имеет локальный минимум в точке (-1, -1).

Примечание: Данный ответ основан на предоставленных поисковых результатах и может быть проверен и дополнен с использованием других источников.