Question

Найдите дифференциал функции f (x) в точке x0, если дано приращение аргумента dx. f (x) = arcctg x³, x₀ = 1, Δx = –0,1.

Answer 1

$f(x)=arcctgx^3\; \; ,\; \; x_0=1\; ,\; \; \Delta x=-0,1\\\\dy(x_0)=f'(x_0)\cdot \Delta x\\\\f'(x)=-\frac{1}{1+x^6}\cdot 3x^2\\\\f'(1)=-\frac{1}{1+1^6}\cdot 3=-\frac{3}{2}\\\\df(1)=-\frac{3}{2}\cdot (-0,1)=0,4$

Answer 2

Для нахождения дифференциала функции f(x) = arctan(x³) в точке x₀ = 1 при приращении аргумента Δx = -0,1, мы можем воспользоваться формулой для дифференциала функции:

df = f'(x₀) * dx,

где f'(x₀) - производная функции f(x) в точке x₀, а dx - приращение аргумента.

Сначала найдем производную функции f(x) = arctan(x³) в общем виде:

f'(x) = d/dx (arctan(x³)).

Для нахождения производной функции arctan(x³) воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Обозначим u = x³, тогда:

f'(x) = d/dx (arctan(u)) * d/du (x³).

Сначала найдем производную arctan(u) по u:

d/du (arctan(u)) = 1 / (1 + u²).

Теперь найдем производную x³ по x:

d/du (x³) = 3x².

Теперь мы можем записать производную функции f(x) = arctan(x³):

f'(x) = 1 / (1 + (x³)²) * 3x².

Теперь мы можем найти дифференциал df в точке x₀ = 1 с приращением Δx = -0,1:

df = f'(1) * (-0,1) = (1 / (1 + (1³)²) * 3(1)²) * (-0,1).

Вычислим значение:

df = (1 / (1 + 1) * 3) * (-0,1) = (1 / 2 * 3) * (-0,1) = (1/6) * (-0,1) = -1/60.

Итак, дифференциал функции f(x) = arctan(x³) в точке x₀ = 1 при приращении аргумента Δx = -0,1 равен -1/60.