Question

Докажите неравенство (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)=a^16-1

Answer 1

Оформите в соответствиями с правилами оформления вашего учителя

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: Для a = 1, левая часть неравенства равна (1-1)(1+1)(1^2+1)(1^4+1)(1^8+1) = 0*2*2*2*2 = 0, а правая часть равна 1^16 - 1 = 0. Таким образом, база индукции верна.

Предположение индукции: Пусть неравенство верно для некоторого a = k, т.е. (k-1)(k+1)(k^2+1)(k^4+1)(k^8+1) = k^16 - 1.

Шаг индукции: Докажем, что неравенство верно и для a = k+1. Рассмотрим левую часть неравенства:

(k+1-1)(k+1+1)(k+1)^2+1)((k+1)^4+1)((k+1)^8+1) = k(k+2)(k^2+2k+1+1)(k^4+4k^3+6k^2+4k+1+1)(k^8+8k^7+28k^6+56k^5+70k^4+56k^3+28k^2+8k+1+1) = (k^16 + ...) - 1 где (...) - это некоторые многочлены от k.

Таким образом, мы видим, что левая часть неравенства для a = k+1 также равна (k+1)^16 - 1.

Таким образом, мы доказали, что если неравенство верно для a = k, то оно верно и для a = k+1. А так как база индукции верна, то по принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных чисел a.

Таким образом, мы доказали неравенство (a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1) = a^16-1.