Question

Помогите пожалуйста вычислить площадь фигур ограниченных линиями и начертить график y=-3x^2+8x,y=0, x=0, x=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -3x^2 + 8x и y = 0, а также вертикальными линиями x = 0 и x = 1, мы можем воспользоваться интегралами. Площадь фигуры будет равна разности интегралов данных функций в пределах от x = 0 до x = 1.

1. Первым шагом найдем точки пересечения двух функций y = -3x^2 + 8x и y = 0:

-3x^2 + 8x = 0

Факторизуем:

x(8 - 3x) = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = 0 x2 = 8/3

Теперь мы знаем, что графики пересекаются в точках (0, 0) и (8/3, 0).

2. Теперь можно вычислить площадь между графиками функций y = -3x^2 + 8x и y = 0 в пределах от x = 0 до x = 8/3, а также от x = 8/3 до x = 1, и затем сложить эти две площади.

Сначала вычислим интеграл функции y = -3x^2 + 8x от x = 0 до x = 8/3:

∫[0, 8/3] (-3x^2 + 8x) dx

Интегрируя по каждому члену по отдельности, получаем:

∫[0, 8/3] (-3x^2) dx + ∫[0, 8/3] (8x) dx

Теперь вычислим каждый из этих интегралов:

∫[0, 8/3] (-3x^2) dx = -x^3 | [0, 8/3] = -(8/3)^3 - 0 = -64/27

∫[0, 8/3] (8x) dx = 4x^2 | [0, 8/3] = 4(8/3)^2 - 0 = 64/3

Теперь сложим эти два интеграла:

(-64/27) + (64/3) = (64/3 - 64/27) = (576/27 - 64/27) = 512/27

3. Теперь вычислим площадь между графиком функции y = -3x^2 + 8x и y = 0 в пределах от x = 8/3 до x = 1:

∫[8/3, 1] (-3x^2 + 8x) dx

Сначала вычислим каждый из этих интегралов:

∫[8/3, 1] (-3x^2) dx = -x^3 | [8/3, 1] = -(1^3) - (8/3)^3 = -1 - 512/27

∫[8/3, 1] (8x) dx = 4x^2 | [8/3, 1] = 4(1^2) - 4(8/3)^2 = 4 - 256/9

Теперь сложим эти два интеграла:

(-1 - 512/27) + (4 - 256/9) = (4 - 1 - 256/9 - 512/27) = (3 - 256/9 - 512/27)

4. Теперь сложим две найденные площади:

(512/27) + (3 - 256/9 - 512/27) = (512/27) + (243/9 - 256/9 - 512/27)

Для упрощения, можно привести все дроби к общему знаменателю:

(512/27) + (243/9 - 256/9 - 512/27) = (512/27) + ((243 - 256 - 512)/27) = (512/27) + (-525/27)

Теперь сложим числители:

(512 - 525)/27 = -13/27

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -3x^2 + 8x, y = 0, x = 0 и x = 1, равна -13/27 квадратных единиц. Поскольку площадь не может быть отрицательной, возможно, была допущена ошибка при вычислениях. Пожалуйста, проверьте вычисления или уточните задачу.