Question

найти наибольшее и наименьшее значение выражения 3 косинус квадрат альфа минус 4 синус квадрат альфа​

Answer 1

$3\cos^2{\alpha}-4\sin^2{\alpha}=3\cos^2{\alpha}-4(1-\cos^2{\alpha})=7\cos^2{\alpha}-4$

$-1\leq \cos{\alpha}\leq 1\\0\leq \cos^2{\alpha}\leq 1\\0\leq 7\cos^2{\alpha}\leq 7\\-4\leq 7\cos^2{\alpha}-4\leq 3$

Ответ: наибольшее значение — 3, наименьшее — -4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения $3\cos^2(\alpha) - 4\sin^2(\alpha)$ мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями.

Используем идентичности: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$

Теперь мы можем подставить это в исходное выражение:

$3\cos^2(\alpha) - 4\sin^2(\alpha) = 3(1 - \sin^2(\alpha)) - 4\sin^2(\alpha)$

Раскроем скобки:

$3 - 3\sin^2(\alpha) - 4\sin^2(\alpha)$

$3 - 7\sin^2(\alpha)$

Теперь у нас есть выражение, зависящее только от $\sin(\alpha)$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение этого выражения, мы заметим, что $\sin^2(\alpha)$ находится в интервале [0, 1]. Таким образом, наибольшее значение будет при минимальном значении $\sin^2(\alpha) = 0$, а наименьшее значение будет при максимальном значении $\sin^2(\alpha) = 1$.

Таким образом, наибольшее значение выражения $3\cos^2(\alpha) - 4\sin^2(\alpha)$ равно 3, а наименьшее значение равно -4.