Question

Сумма трех чисел,составляющих геометрическую прогрессию равна 39,а сумма их логарифмов по основанию 3 равна 6. Найти знаменатель прогресси

Answer 1

Ответ: d = 3 ; d= 1/3 d 

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте представим три числа в геометрической прогрессии как a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, а r - знаменатель прогрессии.

Таким образом, сумма трех чисел будет равна: a + ar + ar^2 = 39 ...(1)

Также, сумма их логарифмов по основанию 3 будет равна: log3(a) + log3(ar) + log3(ar^2) = 6 ...(2)

Для удобства решения, заменим логарифмы на экспоненты с тем же основанием: 3^(log3(a)) + 3^(log3(ar)) + 3^(log3(ar^2)) = 3^6

Применим свойства логарифмов и экспонент: a + ar + ar^2 = 39

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения a и r.

Решим систему уравнений:

Из уравнения (2) мы можем получить выражение для a: log3(a) + log3(ar) + log3(ar^2) = 6 log3(a * ar * ar^2) = 6 log3(a^4 * r^3) = 6 4log3(a) + 3log3(r) = 6

Теперь мы можем заменить log3(a) в уравнении (1) с использованием этого нового выражения: 4log3(a) + 3log3(r) = 6 4(log3(ar) - log3(r)) + 3log3(r) = 6 4log3(ar) - 4log3(r) + 3log3(r) = 6 4log3(ar) - log3(r) = 6

Теперь мы получили новое уравнение, в котором есть только одна неизвестная - log3(ar). Обозначим эту величину за x и решим уравнение относительно x:

4x - log3(r) = 6 4x = 6 + log3(r) x = (6 + log3(r))/4

Теперь мы можем заменить log3(ar) в уравнении (1) с помощью этого нового значения x:

a + ar + ar^2 = 39 a + 3^x * a + (3^x)^2 * a = 39 a(1 + 3^x + (3^x)^2) = 39 a(1 + 3^x + 9^x) = 39

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной - a. Решим его относительно a:

a(1 + 3^x + 9^x) = 39 a = 39 / (1 + 3^x + 9^x)

Теперь у нас есть выражение для a, используя значение x, которое мы нашли ранее. Мы также можем заметить, что r = 3^x.

Таким образом, мы нашли значения a и r, которые являются решением данной задачи. Заметим, что знаменатель прогрессии r равен 3^x, где x = (6 + log3(r))/4.