Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. На отрезке AD выбрана точка P, а на отрезке CE выбрана точка Q так, что углы AQB и CPB – прямые. Найдите произведение BP * BQ, если известно, что площадь треугольника ABC равна 2, а cos( ABC)=12/13.

Answer 1

Ответ:

9,6

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами остроугольных треугольников и отношениями между площадями треугольников.

Известно, что угол ABC остроугольный и cos(ABC) = 12/13. Мы также знаем, что площадь треугольника ABC равна 2.

Площадь треугольника можно выразить через его стороны и синус угла между ними:

S(ABC) = (1/2) * AB * BC * sin(ABC)

Теперь мы можем выразить sin(ABC):

sin(ABC) = 2 * S(ABC) / (AB * BC)

Мы также знаем, что площадь треугольника ABC равна 2, поэтому:

sin(ABC) = 2 / (AB * BC)

Теперь нам нужно найти произведение BP * BQ. Рассмотрим треугольники AQB и CPB:

S(AQB) = (1/2) * AB * BQ * sin(AQB) S(CPB) = (1/2) * BC * BP * sin(CPB)

Заметим, что sin(AQB) = sin(ABC) и sin(CPB) = sin(ABC), так как угол ABC остроугольный и углы AQB и CPB прямые.

Теперь мы можем выразить площади S(AQB) и S(CPB) через sin(ABC):

S(AQB) = (1/2) * AB * BQ * sin(ABC) S(CPB) = (1/2) * BC * BP * sin(ABC)

Используя ранее найденное значение sin(ABC), получаем:

S(AQB) = (1/2) * AB * BQ * (2 / (AB * BC)) S(CPB) = (1/2) * BC * BP * (2 / (AB * BC))

Теперь мы можем упростить выражения:

S(AQB) = BQ / BC S(CPB) = BP / AB

Так как площади S(AQB) и S(CPB) равны, то:

BQ / BC = BP / AB

Теперь мы хотим найти произведение BP * BQ. Мы заметили, что обе стороны уравнения имеют общий знаменатель BC * AB:

(BQ / BC) * (BC * AB) = (BP / AB) * (BC * AB)

BQ * AB = BP * BC

Теперь мы можем выразить произведение BP * BQ:

BP * BQ = (BQ * AB) = (BP * BC)

Теперь нам нужно выразить AB и BC через заданные данные. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

cos(ABC) = AB / AC

Мы знаем, что cos(ABC) = 12/13, поэтому:

AB = (12/13) * AC

Теперь рассмотрим треугольник BAC:

sin(ABC) = BC / AC

Мы уже знаем, что sin(ABC) = 2 / (AB * BC) и AB = (12/13) * AC, поэтому:

2 / ((12/13) * AC * BC) = BC / AC

Теперь можно выразить BC через AC:

BC = (2/13) * AC

Теперь мы имеем выражения для AB и BC, и мы можем найти произведение BP * BQ:

BP * BQ = (BQ * AB) = (BP * BC) = (BP * (2/13) * AC)

Теперь мы должны выразить AC через площадь треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна:

S(ABC) = (1/2) * AC * BC

Мы знаем, что S(ABC) = 2 и BC = (2/13) * AC, поэтому:

2 = (1/2) * AC * ((2/13) * AC)

Теперь можно решить это уравнение:

4 = (2/13) * AC^2

AC^2 = (4 * 13) / 2

AC^2 = 26

AC = √26

Теперь мы знаем значение AC, и мы можем выразить BP * BQ:

BP * BQ = (BP * (2/13) * AC) = (BP * (2/13) * √26)

Таким образом, произведение BP * BQ равно:

BP * BQ = (2/13) * BP * √26

Теперь, чтобы найти значение BP * BQ, нам нужно найти значение BP. Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 2, поэтому:

S(ABC) = (1/2) * AB * BC

Мы уже знаем, что AB = (12/13) * AC и BC = (2/13) * AC, поэтому:

2 = (1/2) * ((12/13) * AC) * ((2/13) * AC)

Теперь мы можем решить это уравнение для AC:

2 = (1/2) * (24/169) * AC^2

4 = (24/169) * AC^2

AC^2 = (4 * 169) / 24

AC^2 = 676 / 24

AC^2 = 169/6

AC = √(169/6)

Теперь, когда мы знаем значение AC, мы можем найти значение BP:

BP = (2 * S(ABC)) / (AC * BC)

BP = (2 * 2) / (√(169/6) * (2/13) * √26)

BP = 4 / ((√(169/6)) * (2/13) * √26)

BP = (4 * 13) / (√169 * 2 * √26)

BP = 52 / (13 * 2 * √26)

BP = 2 / √26

Теперь, когда мы знаем значение BP, мы можем найти произведение BP * BQ:

BP * BQ = (2/13) * BP * √26 * BQ

BP * BQ = (2/13) * (2/√26) * √26 * BQ

BP * BQ = (4/13) * BQ

Теперь мы должны найти значение BQ. Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 2, поэтому:

S(ABC) = (1/2) * AB * BC

S(ABC) = (1/2) * ((12/13) * AC) * ((2/13) * AC)

2 = (1/2) * ((12/13) * AC) * ((2/13) * AC)

2 = (1/2) * (24/169) * AC^2

4 = (24/169) * AC^2

AC^2 = (4 * 169) / 24

AC^2 = 676 / 24

AC^2 = 169/6

AC = √(169/6)

Теперь, когда мы знаем значение AC, мы можем найти значение BQ:

BQ = (2 * S(ABC)) / (AB * BC)

BQ = (2 * 2) / (((12/13) * AC) * ((2/13) * AC))

BQ = 4 / (((12/13) * √(169/6)) * ((2/13) * √(169/6)))

BQ = 4 / ((24/169) * √(169/6))

BQ = (4 * 169) / (24 * √(169/6))

BQ = (676 / 24) * (√(169/6))

BQ = (169/6) * (√(169/6))

Теперь у нас есть значение BQ, и мы можем найти произведение BP * BQ:

BP * BQ = (4/13) * BQ

BP * BQ = (4/13) * ((169/6) * (√(169/6)))

Теперь умножим числители и знаменатели:

BP * BQ = (4 * 169) / (13 * 6) * (√(169/6))

BP * BQ = (676 / 78) * (√(169/6))

Теперь упростим дробь:

BP * BQ = (338 / 39) * (√(169/6))

BP * BQ = (338/39) * (√(169/6))

Таким образом, произведение BP * BQ равно (338/39) * (√(169/6)).