Question

Відповідь на рівняння cos x - cos 3 x = 0 .

Answer 1

Cos x - Cos 3x +Sin x =0

-2Sin2xSin(-x) +Sinx = 0

2Sin2xSinx +Sinx = 0

Sinx(2Sin2x +1) = 0

Sinx = 0                 2Sin2x+1 = 0

x = πn , n ∈Z        Sin2x = -1/2

                             2x= (-1)^(k +1)*π/6 + kπ, k ∈Z

Answer 2

Щоб знайти розв'язки рівняння $\cos(x) - \cos(3x) = 0$, використаємо тригонометричну тотожність:

$$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x).$$

Тепер підставимо це в рівняння:

$$\cos(x) - (4\cos^3(x) - 3\cos(x)) = 0.$$

Спростимо:

$$4\cos^3(x) - 2\cos(x) = 0.$$

Тепер можна витягнути 2\cos(x) як спільний множник:

$$2\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) = 0.$$

Маємо два можливі випадки:

1. $2\cos(x) = 0$. Це відбувається, коли $\cos(x) = 0$, що має розв'язки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, де $k$ - це ціле число.

2. $2\cos^2(x) - 1 = 0$. Це відбувається, коли $\cos^2(x) = \frac{1}{2}$, що має два набори розв'язків: $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ і $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, де $k$ - це ціле число.

Отже, рішення рівняння $\cos(x) - \cos(3x) = 0$ усього вигляду:

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi,$

де $k$ - ціле число.