Question

При каком значении n вектора а(1;2n+1), b(n;6): A) равны В) коллинеарный С) перпендикулярны

Answer 1

А) Два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

➠ В) Вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны:

$\dfrac{1}{n} = \dfrac{2n + 1}{6}$

$n(2n + 1) = 6 \cdot 1$

$2n^{2} + n = 6$

$2n^{2} + n - 6 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

$n_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 7}{4} = \left[\begin{array}{ccc}n_{1} = -2\\n_{2} = 1,5\\\end{array}\right$

➠ Равные длины:

$|\vec {a}| = \sqrt{1^{2}+ (2n + 1)^{2}} = \sqrt{1 + 4n^{2} + 4n + 1} = \sqrt{4n^{2} + 4n + 2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{n^{2} + 6^{2}} = \sqrt{n^{2} + 36}$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| \Rightarrow \sqrt{4n^{2} + 4n + 2} = \sqrt{n^{2} + 36}$

$4n^{2} + 4n + 2 = n^{2} + 36$

$3n^{2} + 4n - 34 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 16 + 408 = 424$

$n_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{424}}{6} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{106}}{6} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{106}}{3} = \left[\begin{array}{ccc}n_{1} =\dfrac{-2 - \sqrt{106}}{3}\\n_{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{106}}{3} \\\end{array}\right$

Так как нет таких $n$, при которых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ одновременно коллинеарные и имеют равные длины, то данные вектора не могут быть равными.

С) Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, поскольку $\cos 90^{\circ} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot n + (2n + 1) \cdot 6 = n + 12n + 6 = 13n + 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 13n + 6= 0$

$13n = -6$

$n = -\dfrac{6}{13}$

Ответ: А) ни при каких $n$ вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не равны; В) при $n =-2$ и $n = 1,5$; С) при $n = -\dfrac{6}{13}$

Answer 2

Для определения, при каком значении n векторы a(1; 2n + 1) и b(n; 6) будут равны, коллинеарны или перпендикулярны, давайте рассмотрим эти три случая:

A) Равны: Два вектора a и b будут равными, если и только если их компоненты совпадают. Таким образом, чтобы векторы a и b были равными, мы должны иметь:

1 = n (равенство по первой компоненте) и 2n + 1 = 6 (равенство по второй компоненте).

Из первого уравнения следует, что n = 1, и подставив это значение во второе уравнение, получаем:

2 * 1 + 1 = 3 ≠ 6.

Таким образом, векторы a и b не могут быть равными.

B) Коллинеарны: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой (или параллельны друг другу). Это означает, что один вектор должен быть кратным другому.

Для векторов a и b, чтобы они были коллинеарными, отношение их компонент должно быть постоянным:

a1/b1 = a2/b2,

где a1, a2 - компоненты вектора a, и b1, b2 - компоненты вектора b.

Из компонент вектора a: a1 = 1 и a2 = 2n + 1, а из компонент вектора b: b1 = n и b2 = 6.

Теперь мы можем записать уравнение для коллинеарности:

1/n = (2n + 1)/6.

Умножим обе стороны на n и упростим:

6 = 2n^2 + n.

Приведем это уравнение к виду квадратного уравнения:

2n^2 + n - 6 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 2, b = 1 и c = -6.

D = 1^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49.

D > 0, поэтому у нас есть два корня:

n1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 7) / (2 * 2) = 6 / 4 = 3/2,

n2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 7) / (2 * 2) = -8 / 4 = -2.

Таким образом, есть два значения n, при которых векторы a и b коллинеарны: n = 3/2 и n = -2.

C) Перпендикулярны: Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов a и b записывается как:

a·b = a1 * b1 + a2 * b2.

Из компонент вектора a: a1 = 1 и a2 = 2n + 1, а из компонент вектора b: b1 = n и b2 = 6.

Теперь мы можем записать уравнение для перпендикулярности:

a·b = 1 * n + (2n + 1) * 6 = n + 12n + 6 = 13n + 6.

Чтобы векторы a и b были перпендикулярными, необходимо, чтобы a·b = 0:

13n + 6 = 0.

13n = -6.

n = -6/13.

Таким образом, векторы a и b перпендикулярны при n = -6/13.

Answer 3

Для определения, при каком значении n векторы a(1;2n+1) и b(n;6) будут равны, коллинеарными или перпендикулярными, мы можем воспользоваться следующими определениями:

1. Векторы a и b равны, если их координаты совпадают. То есть, для равенства a и b, должно выполняться:

   a(1;2n+1) = b(n;6)

   Это означает, что первая координата a должна быть равной первой координате b, и вторая координата a должна быть равной второй координате b:

   1 = n 2n + 1 = 6

   Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения получаем n = 1.

   Подставив n = 1 во второе уравнение, получаем:

   2 * 1 + 1 = 3 ≠ 6

   Таким образом, векторы a и b не равны при n = 1.

2. Векторы a и b коллинеарны, если они параллельны, то есть один является кратным другому. Для коллинеарности a и b должно выполняться:

   a = kb, где k - некоторое число.

   То есть каждая координата вектора a должна быть кратной соответствующей координате вектора b:

   1 = kn 2n + 1 = 6k

   Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения получаем n = 1.

   Подставив n = 1 во второе уравнение, получаем:

   2 * 1 + 1 = 3 ≠ 6k

   Это означает, что векторы a и b не коллинеарны при n = 1.

3. Векторы a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для перпендикулярности a и b должно выполняться:

   a · b = 0

   Вычислим скалярное произведение a и b:

   a(1;2n+1) · b(n;6) = 1 * n + (2n + 1) * 6 = n + 12n + 6 = 13n + 6

   Чтобы это выражение было равно нулю, необходимо:

   13n + 6 = 0

   Решив это уравнение, получаем:

   13n = -6 n = -6/13

   Таким образом, векторы a и b перпендикулярны при n = -6/13.

Итак, векторы a и b равны, коллинеарны или перпендикулярны в зависимости от значения n:

A) Равны при n = -6/13. B) Не коллинеарны. C) Перпендикулярны при n = -6/13.