Question

Решить 1/((1-cosx)(1+cosx))=ctgx+3

Answer 1

$\displaystyle\frac{1}{(1-cosx)(1+cosx)}=ctgx+3\\\frac{1}{1-cos^2x}=ctgx+3\\\frac{1}{sin^2x}=ctgx+3\\1+ctg^2x=ctgx+3\\ctg^2x-ctgx-2=0\\ctgx_1=-1;ctgx_2=2\\x_1=-\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z\\x_2=arcctg(2)+\pi n;n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, начнем с упрощения левой стороны:

1/((1-cosx)(1+cosx)) = csc^2(x) [используем тригонометрические тождества: csc(x) = 1/sin(x) и cos^2(x) = 1 - sin^2(x)]

Теперь у нас есть уравнение:

csc^2(x) = ctgx + 3

Для дальнейшего решения уравнения перепишем ctgx как 1/tgx:

csc^2(x) = 1/tgx + 3

Теперь давайте выразим tgx через csc(x). Для этого воспользуемся свойством tgx = 1/cot(x):

csc^2(x) = cot(x) + 3

Теперь мы можем выразить cot(x) через csc(x):

cot(x) = csc^2(x) - 3

Теперь у нас есть уравнение с cot(x) и csc(x):

csc^2(x) = csc^2(x) - 3

Теперь выразим csc(x) через сравнение обеих сторон уравнения:

csc^2(x) - csc^2(x) + 3 = 0

3 = 0

Полученное уравнение 3 = 0 неверно для любого значения x. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.