Question

Помогите доказать тождество 1+sin2a/cos2a=sina+cosa/cosa-sina

Answer 1

1+sin2a=cos^2a+sin^2a+2sinacosa=(cosa+sina)^2; cos2a=cos^2a-sin^2a=(cosa-sina)(cosa+sina). получаем: (cosa+sina)^2/(cosa-sina)(cosa+sina)=(cosa+sina) /(cosa-sina). учитывая , что от перестановки слагаемых сумма не меняется , получаем: (sina+cosa)/(cosa-sina). тождество доказано!! 

Answer 2

Давайте докажем данное тождество пошагово:

Выражение, которое мы хотим доказать, имеет вид:

(1 - sin^2(a)) / cos^2(a) = (sin(a) * cos(a)) / (cos(a) - sin(a))

Начнем с левой стороны выражения:

(1 - sin^2(a)) / cos^2(a)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу sin^2(a) + cos^2(a) = 1 для замены (1 - sin^2(a)):

cos^2(a) / cos^2(a) = cos^2(a) / cos^2(a)

Теперь у нас есть:

1 = cos^2(a) / cos^2(a)

Правая сторона выражения:

(sin(a) * cos(a)) / (cos(a) - sin(a))

Мы можем разделить числитель и знаменатель на cos(a):

(sin(a) * cos(a) / cos(a)) / (cos(a) / cos(a) - sin(a) / cos(a))

Теперь у нас есть:

sin(a) / cos(a) / (1 - sin(a) / cos(a))

Мы можем заменить sin(a) / cos(a) на tan(a), так как tan(a) = sin(a) / cos(a):

tan(a) / (1 - tan(a))

Используем свойство разности квадратов (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b):

tan(a) / ((1 + tan(a))(1 - tan(a)))

Теперь мы можем заменить tan(a) на sin(a) / cos(a):

sin(a) / cos(a) / ((1 + sin(a) / cos(a))(1 - sin(a) / cos(a)))

Мы можем упростить (1 + sin(a) / cos(a))(1 - sin(a) / cos(a)):

(1 + sin(a) / cos(a))(1 - sin(a) / cos(a)) = (cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a)) / cos^2(a)

Теперь у нас есть:

sin(a) / cos(a) / ((cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a)) / cos^2(a))

Мы можем инвертировать дробь в знаменателе:

sin(a) / cos(a) * cos^2(a) / ((cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a)))

Теперь мы можем сократить cos(a) в числителе и знаменателе:

sin(a) * cos(a) / ((cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a)))

Мы можем заменить sin(a) * cos(a) на 1/2 * sin(2a):

1/2 * sin(2a) / ((cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a)))

Теперь мы можем заменить cos(a) + sin(a) на sqrt(2) * sin(a + pi/4) и cos(a) - sin(a) на sqrt(2) * cos(a - pi/4):

1/2 * sin(2a) / (sqrt(2) * sin(a + pi/4) * sqrt(2) * cos(a - pi/4))

Мы можем сократить sqrt(2) в числителе и знаменателе:

1/2 * sin(2a) / (sin(a + pi/4) * cos(a - pi/4))

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a):

1/2 * (2 * sin(a) * cos(a)) / (sin(a + pi/4) * cos(a - pi/4))

Мы можем сократить 2 в числителе:

sin(a) * cos(a) / (sin(a + pi/4) * cos(a - pi/4))

Наконец, мы можем использовать формулы суммы и разности углов для замены sin(a + pi/4) и cos(a - pi/4):

sin(a) * cos(a) / (sin(a) * cos(pi/4) + cos(a) * sin(pi/4))

sin(a) * cos(a) / (sin(a) * (1/sqrt(2)) + cos(a) * (1/sqrt(2)))

sin(a) * cos(a) / (1/sqrt(2) * (sin(a) + cos(a)))

Теперь мы можем сократить sin(a) и cos(a) в числителе и знаменателе:

1/sqrt(2)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона выражения (1 - sin^2(a)) / cos^2(a) равна правой стороне выражения (sin(a) * cos(a)) / (cos(a) - sin(a)). Обе стороны равны 1/sqrt(2).