Question

Найти производные: A) y=4x*e^2x Б) y=ln tg^2 x/6

Answer 1

A) y=4x*e^2x
y' = 4*(x*e^2x)' =
4*( x' * e^2x + x*(e^2x)' ) =
4*( 1 * e^2x + x*(e^2x)*(2x)' ) =
4*( e^2x + x*(e^2x)*2 ) =
4 * e^2x + x*(e^2x)*8 =
4 * e^2x + 8 * x * e^2x

Б) y=ln (tg^2 (x/6))
y' = 1/tg^2 (x/6) * (tg^2 (x/6))' =
1/tg^2 (x/6) * 2*(tg^(2-1) (x/6)) * (tg (x/6))' =
1/tg^2 (x/6) * 2*(tg^1 (x/6)) * (tg (x/6))' =
1/tg^2 (x/6) * 2*(tg (x/6)) * (1/cos^2 (x/6)) * (x/6)' =
1/tg (x/6) * 2 * (1/cos^2 (x/6)) * (x/6)' =
1/tg (x/6) * 2 * (1/(cos^2 (x/6)) ) * (1/6) =
(2/6) * 1/tg (x/6) * (1/(cos^2 (x/6)) )=
(1/3) * 1/tg (x/6) * (1/(cos^2 (x/6)) )=
(1/3) * (cos (x/6)/sin (x/6)) * (1/(cos^2 (x/6)) )=
(1/3) * (1/sin (x/6)) * (1/(cos (x/6)) )=
(1/3) * (1/( (sin (x/6)) * (cos (x/6)) ) )=
(1/3) * ( 1/( (1/2)*sin(2x/6) ) ) =
(1/3) * (2/(sin(2x/6) ) ) =
(1/3) * (2/(sin(x/3) ) ) =
(2/3) * (1/(sin(x/3) ) ) =
2 / (3*sin(x/3))

Answer 2

A) Для нахождения производной функции y=4x*e^2x нужно использовать правило производной произведения функций.

Сначала найдем производную функции e^2x, которая равна 2e^2x. Затем найдем производную функции 4x, которая равна 4.

Теперь используем правило производной произведения функций:

y' = (4x * 2e^2x) + (4 * e^2x) y' = 8xe^2x + 4e^2x

B) Для нахождения производной функции y=ln(tg^2(x/6)) нужно использовать правило производной сложной функции.

Сначала найдем производную внутренней функции tg^2(x/6). Для этого используем правило производной функции tg(x), которая равна (tg(x))^2+1. Тогда производная tg^2(x/6) равна 2tg(x/6)*(1+tg^2(x/6)).

Затем найдем производную функции ln(u), где u = tg^2(x/6). Производная ln(u) равна u'/u.

Теперь используем правило производной сложной функции:

y' = (2tg(x/6)*(1+tg^2(x/6)))*(1/tg^2(x/6)) y' = 2*(1+tg^2(x/6))/tg(x/6)

Это и есть производная исходной функции.