Question

Решить уравнение 3cos^2x+7sinx-5=0

Answer 1

Ответ:

$x=\arcsin \frac{1}{3}+2\pi n,\:x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+2\pi n$, n ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

$3cos^2x+7sinx-5=0\\3(1-sin^{2}x )+7sinx-5=0\\3-3sin^{2}x+7sinx-5=0\\-3sin^{2}x+7sinx-2=0\\3sin^{2}x-7sinx+2=0\\sin^{2}x=t\\3t^{2} -7t+2=0\\D=(-7)^{2} -4*3*2=49-24=25\\t_{1} =\frac{7+\sqrt{25} }{2*3} =\frac{7+5}{6}=2\\t_{2} =\frac{7-\sqrt{25} }{2*3} =\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}$

$sinx=2$ - решений нет, так как область значений для синуса [-1; 1].

$sinx=\frac{1}{3} \\x=arcsin\frac{1}{3} +2\pi n,\\x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n,$ n ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения используем тригонометрические идентичности. Сначала преобразуем его:

3cos^2(x) + 7sin(x) - 5 = 0

Используем тождество для cos^2(x):

1 - sin^2(x) + 7sin(x) - 5 = 0

Теперь преобразуем уравнение:

-sin^2(x) + 7sin(x) - 4 = 0

Далее, представим sin(x) как t:

-t^2 + 7t - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = -1, b = 7 и c = -4. Подставляем значения:

t = (-7 ± √(7² - 4(-1)(-4))) / (2(-1))

t = (-7 ± √(49 - 16)) / (-2)

t = (-7 ± √33) / (-2)

Теперь найдем значения t:

1. t = (-7 + √33) / (-2)
2. t = (-7 - √33) / (-2)

Теперь вернемся к sin(x):

1. sin(x) = (-7 + √33) / 2
2. sin(x) = (-7 - √33) / 2

Теперь найдем углы x, соответствующие этим значениям синуса, используя обратную функцию синуса:

1. x = arcsin[(-7 + √33) / 2]
2. x = arcsin[(-7 - √33) / 2]

Значения синуса могут находиться в интервале [-1, 1], поэтому нужно убедиться, что значения (-7 + √33) / 2 и (-7 - √33) / 2 находятся в этом интервале. Если они не находятся в этом интервале, то уравнение не имеет действительных корней.

После того как вы найдете значения x, учтите, что тригонометрические функции имеют периодические решения, поэтому можно добавить к x кратное 2π, чтобы получить другие решения.