Question

Доказать неравенство: а+1/а больше либо равно 2

Answer 1

А+1/а>=2
умножим на а
а+1>=2а
1>=а

Answer 2

Чтобы доказать неравенство a + 1/a >= 2 для любого значения a, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Подставим a = 1:

1 + 1/1 = 1 + 1 = 2

Значение слева равно значению справа, поэтому базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что неравенство выполняется для некоторого значения a = k, где k > 1:

k + 1/k >= 2

Шаг 3: Доказательство для a = k + 1. Мы должны показать, что неравенство выполняется для a = k + 1:

(k + 1) + 1/(k + 1) >= 2

Упрощая выражение:

(k^2 + k + 1)/(k + 1) >= 2

Мы можем заметить, что числитель (k^2 + k + 1) всегда больше или равен 2(k + 1), так как k^2 + k >= k^2 и k^2 + k + 1 > 2(k + 1) для любого k > 1. Таким образом, мы можем записать:

(k^2 + k + 1)/(k + 1) >= 2(k + 1)/(k + 1)

k^2 + k + 1 >= 2(k + 1)

k^2 + k + 1 >= 2k + 2

k^2 - k - 1 >= 0

Теперь мы должны доказать, что неравенство k^2 - k - 1 >= 0 выполняется для всех k > 1. Мы можем решить это неравенство при помощи квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения k^2 - k - 1 = 0 дает два корня: k ≈ -0.618 и k ≈ 1.618. Заметим, что k > 1, поэтому неравенство выполняется для всех k > 1.

Заключение: Используя метод математической индукции, мы доказали, что неравенство a + 1/a >= 2 выполняется для всех a > 1.