Question

Пусть a и b - натуральные числа, а числа 2a+5, 3b+2 и a+b-5 делятся на простое число p. Найдите все такие числа p и докажите, что других нет.

Answer 1

Какие бы ты числа не подставлял, всегда среди итоговых чисел будет одно простое(то, которое делится на единицу и на самого себя). Поэтому единственное p=1.

Есть один минус: число 1 является натуральным, но в это же время не является ни простым, ни составным. Поэтому тут небольшая несостыковка.

Answer 2

3*(2а+5)= 6а+15

2*(3b+2)=6b+4

сложим

6a+6b+19

вычтем 6(a+b-5)

6a+6b+19 - 6(a+b-5)=49=7*7

полученное число должно по-прежнему быть кратным "p"

значит p=7 и других нет.

Answer 3

Давайте рассмотрим каждое из условий по отдельности:

1. 2a + 5 делится на p.
2. 3b + 2 делится на p.
3. a + b - 5 делится на p.

Мы знаем, что a и b - натуральные числа. Попробуем выразить a и b через p и какие-то другие целые числа:

1. 2a + 5 делится на p. Значит, 2a делится на p и 5 делится на p. Так как p - простое число, то 2a не может делиться только на 5 (потому что в противном случае 5 было бы простым множителем p, что невозможно), поэтому 2a делится на p. Это означает, что a делится на p/2.

2. 3b + 2 делится на p. Значит, 3b делится на p и 2 делится на p. Аналогично, 3b не может делиться только на 2, поэтому 3b делится на p. Это означает, что b делится на p/3.

3. a + b - 5 делится на p. Значит, a + b делится на p, и 5 делится на p. Снова, a + b не может делиться только на 5, поэтому a + b делится на p.

Теперь у нас есть следующие соотношения:

a делится на p/2. b делится на p/3. a + b делится на p.

Теперь рассмотрим возможные значения p:

p = 2. В этом случае a должно быть четным числом, b - кратным 3, и a + b должно быть четным. Пример: a = 4, b = 6.

p = 3. В этом случае a и b должны быть кратными 3, и a + b должно быть кратным 3. Пример: a = 6, b = 3.

p = 5. В этом случае a и b должны быть кратными 5, и a + b должно быть кратным 5. Пример: a = 5, b = 10.

Похоже, что мы нашли все простые числа p, для которых выполняются данные условия. Никакие другие простые числа не подходят, так как они не могут делиться на p/2, p/3 и p одновременно с учетом натуральности a и b.

Таким образом, все такие числа p - это 2, 3 и 5, и других простых чисел, удовлетворяющих условиям, нет.