Question

Таня суммирует все тройки последовательных натуральных чисел и записывает сумму на доску (1+2+3=6, 2+3+4=9) а Капа также суммирует четвёрки это же выписывают суммы. сколько у них совпадет выписанных чисел в диапазоне 1287 до 2020?​

Answer 1

Выпишем начальные члены последовательностей. Последовательность Тани: 6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27,  30... Последовательность Капы: 10,  14,  18,  22,  26,  30... Первая последовательность - арифметическая прогрессия с шагом 3, вторая с шагом четыре. Так как 3*4 = 12, то члены последовательностей будут совпадать начиная с члена 18 с шагом 12. А это, в свою очередь, означает, что будут совпадать все члены кратные шести и равные 6(2k+1), где k - натуральное. Рассмотрим теперь числа в интервале от 1287 до 2020. Первое число кратное 6 число 1290, которое также кратно и 215, то есть 1290 = 6*215. Последним числом в этом интервале кратном 6 будет число 2010, которое также кратно и нечетному числу 335, то есть 2010 = 6*335. Так как (335 - 215)/2 = 120/2 = 60, то всего в интервале от 1287 до 2020 найдется 61 совпадающее число в обеих последовательностях.

Ответ: 61 число.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем представить формулы для суммирования троек и четвёрок последовательных натуральных чисел:

Сумма трёх последовательных натуральных чисел: 1+2+3+...+n = (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6

Сумма четырёх последовательных натуральных чисел: 1+2+3+4+...+n = (n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)) / 24

Теперь мы можем найти, сколько совпадающих сумм будет в диапазоне от 1287 до 2020.

Для троек:

1. Найдем минимальное n, такое что (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6 >= 1287.
2. Найдем максимальное n, такое что (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6 <= 2020.
3. Посчитаем количество троек в этом диапазоне.

Для четвёрок:

1. Найдем минимальное n, такое что (n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)) / 24 >= 1287.
2. Найдем максимальное n, такое что (n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)) / 24 <= 2020.
3. Посчитаем количество четвёрок в этом диапазоне.

После этого сравним количество совпадающих сумм для троек и четвёрок.

Давайте вычислим это:

Для троек:

1. (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6 >= 1287 n * (n + 1) * (n + 2) >= 7722 n * (n + 1) * (n + 2) >= 2 * 3 * 7 * 11 * 17 Наименьшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 11.

2. (n * (n + 1) * (n + 2)) / 6 <= 2020 n * (n + 1) * (n + 2) <= 12120 n * (n + 1) * (n + 2) <= 2 * 2 * 3 * 5 * 11 * 11 Наибольшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 11.

3. В диапазоне от 11 до 11, есть только одно значение, 11.

Для четвёрок:

1. (n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)) / 24 >= 1287 n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) >= 30928 n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) >= 2 * 2 * 2 * 11 * 11 * 31 Наименьшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 10.

2. (n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)) / 24 <= 2020 n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) <= 193920 n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) <= 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 17 Наибольшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 16.

3. В диапазоне от 10 до 16, есть семь значений: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Итак, у них совпадет 1 + 7 = 8 выписанных чисел в диапазоне от 1287 до 2020.