Question

Найдите угол между векторами а(1;1;0,5) и b(0;2;2)

Answer 1

Ответ:

$\dfrac\pi4$ или $45а$

Пошаговое объяснение:

Давайте вспомним формулу косинуса угла между векторами:

$\cos (\vec a;\vec b)=\dfrac{\vec a\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Запишем ее для наших векторов, зная, что

$x_1=1\\y_1=1\\z_1=\dfrac12\\x_2=0\\y_2=2\\z_2=2$

$\cos (\vec a;\vec b)=\dfrac{\vec a\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}=\dfrac{1*0+1*2+\dfrac12*2}{\sqrt{1^2+1^2+0.5^2}\sqrt{0^2+2^2+2^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2.25}*\sqrt{8}}=\dfrac{3}{1.5*2\sqrt2}=\dfrac{1}{0.5*2\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac12\sqrt2$А кажется, мы знаем такой угол, косинус которого равен $\dfrac12\sqrt2$ - это угол $\dfrac\pi4$

Answer 2

Для нахождения угла между двумя векторами, вы можете воспользоваться следующей формулой для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||)

Где:

• θ - угол между векторами.
• a * b - скалярное произведение векторов a и b.
• ||a|| - длина вектора a (его норма).
• ||b|| - длина вектора b (его норма).

Для ваших векторов a(1;1;0,5) и b(0;2;2):

a * b = 10 + 12 + 0.5*2 = 0 + 2 + 1 = 3

||a|| = √(1^2 + 1^2 + 0.5^2) = √(1 + 1 + 0.25) = √2.25 = 1.5

||b|| = √(0^2 + 2^2 + 2^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2

Теперь мы можем вычислить косинус угла θ:

cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||) = 3 / (1.5 * 2√2) = 3 / (3√2) = 1 / √2

Теперь найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos(1 / √2) ≈ 45 градусов.

Таким образом, угол между векторами a и b составляет приблизительно 45 градусов.