Question

Провести полное исследование функции и построить ее график. y = __9x__ x²+9

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для проведения полного исследования функции и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.
2. Найдем производную функции.
3. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания/убывания.
4. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости.
5. Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.
6. Построим график функции.

Исследование функции y = (9x) / (x^2 + 9):

1. Область определения функции: Функция определена для всех действительных чисел x, так как знаменатель x^2 + 9 всегда положителен.

2. Найдем производную функции: y' = (d/dx)[(9x) / (x^2 + 9)]

   Используем правило дифференцирования частного: y' = [(9(x^2 + 9) - 9x(2x)) / (x^2 + 9)^2]

   Упростим числитель: y' = [(9x^2 + 81 - 18x^2) / (x^2 + 9)^2]

   y' = [(9x^2 - 18x^2 + 81) / (x^2 + 9)^2]

   y' = [(-9x^2 + 81) / (x^2 + 9)^2]

3. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания/убывания: Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю: -9x^2 + 81 = 0

   Решим это уравнение: 9x^2 = 81 x^2 = 9 x = ±3

   Теперь определим знак производной на интервалах:

   • Берем три интервала: (-бесконечность, -3), (-3, 3), и (3, +бесконечность).
   • Для интервала (-бесконечность, -3) возьмем x = -4 (производная положительна).
   • Для интервала (-3, 3) возьмем x = 0 (производная отрицательна).
   • Для интервала (3, +бесконечность) возьмем x = 4 (производная положительна).

   Таким образом, у нас есть минимум в точке x = -3 и максимум в точке x = 3.

4. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости: Для нахождения точек перегиба нужно найти вторую производную: y'' = (d^2/dx^2)[(-9x^2 + 81) / (x^2 + 9)^2]

   Вычислим вторую производную: y'' = [(-18x) / (x^2 + 9)^2] - [2(-9x^2 + 81)(2x)] / (x^2 + 9)^3

   Для точек перегиба приравниваем вторую производную к нулю: (-18x) / (x^2 + 9)^2 - [2(-9x^2 + 81)(2x)] / (x^2 + 9)^3 = 0

   Это уравнение не имеет действительных корней, поэтому у функции нет точек перегиба.

5. Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты: Поскольку функция не содержит бесконечных слагаемых, нет вертикальных асимптот. Что касается горизонтальных асимптот, для них мы можем использовать пределы при x, стремящемся к бесконечности:

   • lim(x -> +бесконечность) (9x) / (x^2 + 9) = 0
   • lim(x -> -бесконечность) (9x) / (x^2 + 9) = 0

   Таким образом, y = 0 является горизонтальной асимптотой.

6. Построим график функции:

   График функции будет иметь следующие характеристики:

   • Область определения: (-бесконечность, +бесконечность).
   • Точка экстремума в x = -3 (минимум).
   • Точка экстремума в x = 3 (максимум).
   • Горизонтальная асимптота y = 0.

   График будет выглядеть приблизительно следующим образом:

   (График не может быть точно нарисован текстом, но он будет иметь форму, напоминающую букву "M" с точкой в середине.)

   markdownCopy code
         |
    ____/ \______
               |
               |
   

   Точка экстремума в x = -3 будет находиться выше оси x, а точка экстремума в x = 3 будет ниже оси x.

Это исследование функции и построение её графика для данной функции.