Question

Могут ли числа корень из 3;2; корень из 8 быть членами(необязательно последовательными) арифметической прогрессии?

Answer 1

Не могут. Предположим, что d - разность такой прогрессии. Тогда при некоторых целых n,m должно быть $\sqrt{3}+dn=2$ и $2+dm= \sqrt{8}$. Отсюда 
$d= \frac{(2- \sqrt{3} )}{n}= \frac{( \sqrt{8}-2 )}{m}$. Т.е. $\frac{ \sqrt{8} }{m} + \frac{ \sqrt{3} }{n} = \frac{2}{n} + \frac{2}{m}$. Возводим это равенство в квадрат, и получаем, что $\frac{8}{m^{2} }+ \frac{3}{n^{2} }+ \frac{4 \sqrt{6} }{mn}=( \frac{2}{n}+ \frac{2}{m} )^{2}$, откуда следует, что число $\sqrt{6}$ - рационально. А это не так.

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое из этих чисел по отдельности:

1. Корень из 3: это число приблизительно равно 1.732. Если мы возьмем его в качестве первого члена арифметической прогрессии, то второй член должен быть на определенное число больше. Например, если мы добавим 1, то получим число 2.732, что не является квадратным корнем из какого-либо числа. Таким образом, корень из 3 не может быть членом арифметической прогрессии.

2. Корень из 2: это число приблизительно равно 1.414. Аналогично, если мы возьмем его в качестве первого члена арифметической прогрессии, то второй член должен быть на определенное число больше. Например, если мы добавим 1, то получим число 2.414, что также не является квадратным корнем из какого-либо числа. Таким образом, корень из 2 также не может быть членом арифметической прогрессии.

3. Корень из 8: это число приблизительно равно 2.828. Если мы возьмем его в качестве первого члена арифметической прогрессии, то второй член должен быть на определенное число больше. Например, если мы добавим 1, то получим число 3.828, что также не является квадратным корнем из какого-либо числа. Таким образом, корень из 8 также не может быть членом арифметической прогрессии.

Таким образом, ни одно из этих чисел не может быть членом арифметической прогрессии.