Question

Найти интеграл, используя простейшие методы интегрирования: ∫ 8^x * ( e^(2*x) - e^(-x) ) dx

Answer 1

Вот. Сначала раскладываешь, потом решаешь методом по частям.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Правило интегрирования по частям гласит:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx

где u и v - функции переменной x, а u' и v' - их производные по x.

Давайте применим это правило к нашему интегралу ∫ (8^x * (e^(2*x) - e^(-x))) dx:

Пусть u = 8^x, тогда u' = ln(8) * 8^x (по правилу производной степенной функции). Пусть v = (1/2) * e^(2*x), тогда v' = e^(2*x) (по правилу производной экспоненциальной функции).

Теперь мы можем вычислить значения u' и v' и подставить их в формулу интегрирования по частям:

∫ (8^x * (e^(2*x) - e^(-x))) dx = u * v - ∫ (u' * v) dx = (8^x) * ((1/2) * e^(2*x)) - ∫ ((ln(8) * 8^x) * ((1/2) * e^(2*x))) dx

Далее, мы можем разделить полученный интеграл на два отдельных интеграла и решить их по отдельности:

I1 = (8^x) * ((1/2) * e^(2*x)) I2 = ∫ ((ln(8) * 8^x) * ((1/2) * e^(2*x))) dx

Вычисление I1:

I1 = (8^x) * ((1/2) * e^(2*x))

Для упрощения этого интеграла, мы можем использовать свойство степенных функций:

a^x * a^y = a^(x+y)

Применяя это свойство, мы можем переписать I1:

I1 = (1/2) * (8^x) * (e^(2*x)) = (1/2) * (8 * e^2)^x

Теперь этот интеграл очень просто решить, так как он представляет собой интеграл от степенной функции.

Вычисление I2:

I2 = ∫ ((ln(8) * 8^x) * ((1/2) * e^(2*x))) dx

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям снова.

Пусть u = ln(8) * 8^x, тогда u' = ln(8) * ln(8) * 8^x (по правилу производной степенной функции). Пусть v = (1/2) * e^(2*x), тогда v' = e^(2*x) (по правилу производной экспоненциальной функции).

Теперь мы можем вычислить значения u' и v' и подставить их в формулу интегрирования по частям:

I2 = u * v - ∫ (u' * v) dx = (ln(8) * 8^x) * ((1/2) * e^(2*x)) - ∫ ((ln(8) * ln(8) * 8^x) * ((1/2) * e^(2*x))) dx

И снова, мы можем разделить полученный интеграл на два отдель