Question

составить уравнение плоскости которая проходит через две точки: A (1;-2;-8) B(4;5;2) перпендикулярно к плоскости x-2y+3z-5=0

Answer 1

Ответ:

$\sigma _2 : 41x+y-13z-145=0$

Пошаговое объяснение:

1) Найдем вектор $\vec{AB} = (4-1;\ 5-(-2);\ 2-(-8)) = (3;\ 7;\ 10)$

2) Из уравнения $\sigma _1:\ x-2y+3z-5=0$ снимем вектор нормали$\vec{n}_1(1;\ -2;\ 3)$

3)Уравнение плоскости $\sigma_2$ составим по точке $A(1;\ -2;\ -8)$ (Можно взять и $B$) и двум неколлинеарным векторам $\vec{AB}(3;\ 7;\ 10)$ и $\vec{n}_1(1;\ -2;\ 3)$:

$\left[\begin{array}{ccc}x-1&3&1\\y+2&7&-2\\z+8&10&3\end{array}\right] = 0\\\\\\(x-1)\left[\begin{array}{cc}7&-2\\10&3\end{array}\right] - (y+2)\left[\begin{array}{cc}3&1\\10&3\end{array}\right] + (z+8)\left[\begin{array}{cc}3&1\\7&-2\end{array}\right] =0\\\\\\(x-1)(21+20) - (y+2)(9-10)+(z+8)(-6-7)=0\\\\41(x-1)+(y+2)-13(z+8)=0\\\\41x-41+y+2-13z-104 = 0\\\\\sigma _2 : 41x+y-13z-145=0$

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки A(1, -2, -8) и B(4, 5, 2) и перпендикулярной к плоскости x - 2y + 3z - 5 = 0, мы можем воспользоваться следующим методом.

1. Найдем вектор, перпендикулярный заданной плоскости x - 2y + 3z - 5 = 0. Коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении плоскости будут координатами этого вектора. Таким образом, вектор нормали к плоскости равен N(1, -2, 3).

2. Теперь мы имеем вектор нормали к новой плоскости. Для построения уравнения этой плоскости нам нужно найти точку, через которую она проходит. Мы можем взять любую из заданных точек A или B. Давайте возьмем точку A(1, -2, -8).

3. Теперь мы можем использовать формулу уравнения плоскости в трехмерном пространстве:

Ax + By + Cz = D,

где A, B и C - это координаты вектора нормали к плоскости, а (x, y, z) - координаты точек, через которые проходит плоскость.

Подставляя значения, полученные на шагах 1 и 2:

(1)(x) + (-2)(y) + (3)(z) = D,

x - 2y + 3z = D.

Теперь мы можем найти значение D, подставив координаты точки A(1, -2, -8):

(1)(1) - 2(-2) + 3(-8) = D, 1 + 4 - 24 = D, -19 = D.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, -2, -8) и перпендикулярной к плоскости x - 2y + 3z - 5 = 0, будет:

x - 2y + 3z = -19.

Answer 3

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через две точки $A(1, -2, -8)$ и $B(4, 5, 2)$ и перпендикулярной к плоскости $x - 2y + 3z - 5 = 0$, нужно найти вектор нормали для искомой плоскости.

Вектор нормали для плоскости $x - 2y + 3z - 5 = 0$ имеет координаты $(1, -2, 3)$. Таким образом, вектор нормали для искомой плоскости должен быть перпендикулярен к вектору $(1, -2, 3)$.

Мы можем найти вектор, который параллелен прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, используя разность координат этих точек:

$$\vec{AB} = (4 - 1, 5 - (-2), 2 - (-8)) = (3, 7, 10)$$

Теперь найдем вектор нормали для искомой плоскости как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $(1, -2, 3)$:

$$\vec{N} = \vec{AB} \times (1, -2, 3) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 7 & 10 \\ 1 & -2 & 3 \\ \end{vmatrix}$$

Рассчитаем векторное произведение:

$$\vec{N} = ((7 \times 3) - (-2 \times 10), -(3 \times 3) - (1 \times 10), (3 \times 7) - (1 \times 2))$$

$$\vec{N} = (31, -19, 19)$$

Теперь у нас есть вектор нормали для искомой плоскости. Уравнение плоскости с известной точкой $(x_0, y_0, z_0)$ и нормалью $(a, b, c)$ имеет вид:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Подставляем известные значения:

$31(x - 1) - 19(y + 2) + 19(z + 8) = 0$

Это уравнение плоскости, которая проходит через точки $A(1, -2, -8)$ и $B(4, 5, 2)$ и перпендикулярна к плоскости $x - 2y + 3z - 5 = 0$.