Question

(xy+y^2) dx - x^2 dy=0

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{y} =Cx+1; \ x=0.$

Пошаговое объяснение:

если переписать это ДУ, то будет (тривиальное решение х=0)

$\frac{xy'}{y^2}- \frac{x}{y} =1;$

попробуйте такой вариант (оформление адаптируйте под свои требования):

1. замена как в ДУ Бернулли, то есть z=1/y; z'= -y'/y², тогда

-х²z'-xz=1 (неоднородное линейное ДУ);

2. Решая неоднородное линейное ДУ (замена z=u*v; z'=u'v+uv'), получится система:

$\left \{ {{u'v=-\frac{1}{x} } \atop {v'=-\frac{v}{x}}} \right. \ => \left \{ {{u=C+x} \atop {v=\frac{1}{x}}} \right.$

3. Обратная замена z=u*v, тогда z=Сх+1;

4. Обратная замена 1/y=z, тогда

$\frac{1}{y} =Cx+1$

Answer 2

Другой человек сразу заметит, что дифференциальное уравнение является однородным и для него существенна замена $y=ux$. Надеюсь этот же человек найдётся и решит, ну а я предоставлю другой способ решения.

$xy+y^2-x^2y'=0$

Разделим обе части уравнения на $-x^2y^2\ne 0$, получаем

$\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}$

Далее домножим обе части уравнения на интегрирующий множитель $\mu(x)$, который определен как $\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln |x|}=\frac{1}{x}$.

$\dfrac{y'}{xy^2}-\dfrac{1}{x^2y}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \dfrac{y'x-y}{x^2y^2}=\dfrac{1}{x^3}\\ \\ \Big(\dfrac{x}{y}\Big)'=\dfrac{1}{x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\dfrac{x}{y}=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \dfrac{x}{y}=\ln|x|+C\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{x}{\ln|x|+C}}$

Answer 3

The given differential equation is:

(xy + y^2) dx - x^2 dy = 0

To solve this first-order ordinary differential equation, you can try to separate the variables by moving terms involving x and y to opposite sides of the equation.

(xy + y^2) dx = x^2 dy

Now, let's divide both sides by (xy + y^2) to separate variables:

dx / dy = x^2 / (xy + y^2)

To proceed, you can make a substitution to simplify the equation further. Let z = x/y, so dz/dy = (1/y) * (dx/dy). Now, rewrite the equation in terms of z:

(1/y) * dz/dy = (x/y)^2 / (x + y^2)

Now, let's substitute z and dz/dy back into the equation:

(1/y) * dz/dy = z^2 / (z + 1)

Now, this is a separable differential equation. We can separate the variables z and y:

(1/z^2) * dz = (1/(y(z + 1))) * dy

Now, we can integrate both sides:

∫(1/z^2) dz = ∫(1/(y(z + 1))) dy

The left side can be integrated as:

∫(1/z^2) dz = -1/z + C₁

For the right side, we can use a substitution u = z + 1:

∫(1/(y(z + 1))) dy = ∫(1/(yu)) dy = ∫(1/u) du

Integrating the right side with respect to u gives:

∫(1/u) du = ln|u| + C₂

Now, substitute back for u:

ln|z + 1| + C₂ = -1/z + C₁

To simplify further, you can combine the constants C₁ and C₂ into a single constant C:

ln|z + 1| = -1/z + C

Now, exponentiate both sides:

|z + 1| = e^(-1/z + C)

Since C is an arbitrary constant, you can rewrite it as C = ln|A|, where A is a positive constant:

|z + 1| = A * e^(-1/z)

Now, you can remove the absolute value:

z + 1 = ± A * e^(-1/z)

Now, you have a relationship between z and A:

z = -1 ± A * e^(-1/z)

This is the implicit solution to the given differential equation. It cannot be expressed explicitly in terms of elementary functions, so you would typically leave it in this form.