Question

Помогите пожалуйста))) Исследовать по общей схеме функции и построить их графики: y=x^4-6x^2+3

Answer 1

Y=x^4-6x²+3
D(y)∈R
Функция определена на всей числовой оси ,значит вертикальных асиптот нет
y(-x)=(-x)^4-6(-x)²+3=x^4-6x^2+3 четная
непериодическая
x=0  y=3
y=0  x^4-6x²+3=0
x²=a
a²-6a+3=0
D=36-12=24
a1=(6-2√6)/2=3-√6⇒x²=3-√6⇒x=+-√(3-√6)
a2=3+√6⇒x²=3+√6⇒x=+-√(3+√6)
(0;3);(-√(3-√6);0);(√(3-√6);0);(-√(3+√6);0);(√(3+√6);0)точки пересечения с осями
y`=4x³-12x=4x(x-√3)(x+√3)=0
x=0  x=√3  x=-√3 критические точки
           _                  +                    _                      +
---------------(-√3)-----------(0)-----------------(√3)-------------------
убыв            min возр    max  убыв        min  возр
ymin=y(-√3)=y(√3)=-6
ymax=y(0)=3
y``=12x²-12=12(x-1)(x+1)=0
x=1  x=-1
                   +                    _                      +
-------------------(-1)------------------(1)----------------------
вогн вниз            выпукл вверз          вогн вниз
y(-1)=y(1)=1-6+3=-2
(-1;-2);(1;-2) точки перегиба

Answer 2

Функция и её график

Данная функция имеет вид: y = x^4 - 6x^2 + 3.

Для исследования функции и построения её графика, мы можем проанализировать следующие аспекты:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел x.

2. Знак функции: Чтобы определить знак функции, мы можем рассмотреть значения функции в различных интервалах и точках пересечения с осью x.

- Когда x < -2, функция принимает положительные значения. - Когда -2 < x < -1, функция принимает отрицательные значения. - Когда -1 < x < 1, функция принимает положительные значения. - Когда x > 1, функция принимает положительные значения.

3. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для данной функции, производная равна: y' = 4x^3 - 12x.

- Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение: 4x^3 - 12x = 0. Результаты решения уравнения: x = -√3, x = 0, x = √3. - Чтобы определить тип экстремума в каждой точке, можно проанализировать знак второй производной функции. Вторая производная равна: y'' = 12x^2 - 12. - При x = -√3, вторая производная отрицательна, следовательно, это точка максимума. - При x = 0, вторая производная положительна, следовательно, это точка минимума. - При x = √3, вторая производная отрицательна, следовательно, это точка максимума.

4. Асимптоты: Для данной функции нет вертикальных асимптот, так как она не имеет разрывов или точек, где функция не определена. Горизонтальная асимптота также отсутствует, так как функция не стремится к бесконечности при x -> ±∞.

5. Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями, приравняем функцию к нулю и решим уравнение: x^4 - 6x^2 + 3 = 0. Решение этого уравнения может быть сложным, и точные значения могут быть найдены с использованием численных методов.

Теперь давайте построим график функции:


Примечание: График был построен с использованием математического программного обеспечения или онлайн-графического калькулятора. Он представляет собой визуализацию функции y = x^4 - 6x^2 + 3 на координатной плоскости.