Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 7 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 5 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 6 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 3 плит(-ок, -и) меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 5. Сколько всего плиток осталось после строительства?

Answer 1

Ответ:

Общее количество плиток меньше 49.

При укладывании по 5 плиток остаток может быть 4 максимум.

Так как по условию при укладывании по 6 плиток остаток меньше на 3, чем при раскладке на 5, то есть, только 1.

Общее количество плиток не кратно 6 и 5.

При количестве рядов при раскладке по 6:

1 - 1*6+1=7; 7:5=1 и остаток 2, а по условию, должен быть 4 - не подходит.

2 - 2*6+1=13; 13:5=2 (остаток 3) - не подходит.

3 - 3*6+1=19; 19:5=3 (остаток 4) - подходит

4 - 4*6+1=25; 25:5 - без остатка - не подходит

5 - 5*6+1=31; 31:5 - остаток 1 не подходит

6 - 6*6+1=37; 37:5 - остаток 2 не подходит

7 - 7*6+1=43; 43:5 - остаток 3 - не подходит

8 - 8*6+1=49 - не подходит условию задачи - должна быть меньше 49.

Ответ: плиток оставалось 19.

Проверка

19<49

При укладывании по 5 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, остаток 4.

При укладывании по 6 плиток тоже остаётся неполный ряд, остаток 1, что на 3 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 5.

Итог - истина.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из трех вариантов укладки плиток в ряд и найдем количество плиток в каждом из неполных рядов.

1. Укладывание плиток по 7 в ряд: Неполный ряд: 7 плиток

2. Укладывание плиток по 5 в ряд: Неполный ряд: 5 плиток

3. Укладывание плиток по 6 в ряд: Неполный ряд: 6 - 3 = 3 плитки

Теперь определим, сколько всего плиток у нас есть. Обозначим общее количество плиток буквой "N". По условию задачи, остаток от деления N на 7, 5 и 6 равен 0, 1 и 3 соответственно:

1. N ≡ 0 (mod 7)
2. N ≡ 1 (mod 5)
3. N ≡ 3 (mod 6)

Решая систему уравнений по китайской теореме об остатках, мы найдем общее количество плиток. Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида или другими методами для решения системы сравнений.

Решение этой системы даёт N = 105 плиток.

Итак, после строительства осталось 105 плиток.