Question

Убыв.и возр. функции. 1. y=x^2-6x+5 2. y=2x^2-4x+5 3. y=-x^2+4x+1 4. y=x^3-3x^2+1 5. y=1/x помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

1.

(-∞ ;3)                   (3; +∞)

f'(x) < 0                   f'(x) > 0

функция убывает   функция возрастает

2.

(-∞ ;1)    (1; +∞)

f'(x) < 0    f'(x) > 0

функция убывает  функция возрастает

3.

(-∞ ;2)     (2; +∞)

f'(x) > 0     f'(x) < 0

функция возрастает  функция убывает

4.

(-∞ ;0)∪(2; +∞)    (0; 2)  

f'(x) > 0     f'(x) < 0  

функция возрастает  функция убывает

5.

(-∞ ;0)    (0; +∞)

f'(x) < 0    f'(x) < 0

функция убывает  функция убывает

Пошаговое объяснение:

1. y = x^2-6*x+5

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 2·x-6

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

2·x-6 = 0

Откуда:

x = 3

(-∞ ;3)                   (3; +∞)

f'(x) < 0                   f'(x) > 0

функция убывает   функция возрастает

В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.

2. y = 2*x^2-4*x+5

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 4·x-4

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

4·x-4 = 0

Откуда:

x = 1

(-∞ ;1)    (1; +∞)

f'(x) < 0    f'(x) > 0

функция убывает  функция возрастает

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.

3. y=-x^2+4x+1

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 4-2·x

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

4-2·x = 0

Откуда:

x = 2

(-∞ ;2)     (2; +∞)

f'(x) > 0     f'(x) < 0

функция возрастает  функция убывает

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.

4. y=x^3-3x^2+1

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = 3·x2-6·x

или

f'(x)=3·x·(x-2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

x·(x-2) = 0

Откуда:

x1 = 0

x2 = 2

(-∞ ;0)∪(2; +∞)    (0; 2)  

f'(x) > 0     f'(x) < 0  

функция возрастает  функция убывает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.

5. y=1/x

Найдем точки разрыва функции.

x = 0

Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной.

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) =-1/(х^2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

1 ≠ 0

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;0)    (0; +∞)

f'(x) < 0    f'(x) < 0

функция убывает  функция убывает

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти убывающие и возрастающие интервалы для данных функций. Для этого мы будем анализировать производные функций. Если производная положительна, то функция возрастает на данном интервале, если отрицательна - убывает.

1. Функция: y = x^2 - 6x + 5

   Производная: y' = 2x - 6

   Для определения интервалов возрастания и убывания решим уравнение: 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3

   Теперь мы можем проверить значения производной на разных интервалах:

   • Если x < 3, то 2x - 6 < 0, значит, функция убывает на интервале (-∞, 3).
   • Если x > 3, то 2x - 6 > 0, значит, функция возрастает на интервале (3, +∞).

2. Функция: y = 2x^2 - 4x + 5

   Производная: y' = 4x - 4

   Для определения интервалов возрастания и убывания решим уравнение: 4x - 4 = 0 4x = 4 x = 1

   Теперь мы можем проверить значения производной на разных интервалах:

   • Если x < 1, то 4x - 4 < 0, значит, функция убывает на интервале (-∞, 1).
   • Если x > 1, то 4x - 4 > 0, значит, функция возрастает на интервале (1, +∞).

3. Функция: y = -x^2 + 4x + 1

   Производная: y' = -2x + 4

   Для определения интервалов возрастания и убывания решим уравнение: -2x + 4 = 0 -2x = -4 x = 2

   Теперь мы можем проверить значения производной на разных интервалах:

   • Если x < 2, то -2x + 4 > 0, значит, функция возрастает на интервале (-∞, 2).
   • Если x > 2, то -2x + 4 < 0, значит, функция убывает на интервале (2, +∞).

4. Функция: y = x^3 - 3x^2 + 1

   Производная: y' = 3x^2 - 6x

   Функция является кубической, и её производная меняет знак несколько раз. Для точного анализа нужно найти корни уравнения: 3x^2 - 6x = 0.

   Решение этого уравнения даст точки, в которых производная равна нулю, и это позволит нам разбить интервалы на убывающие и возрастающие.

5. Функция: y = 1/x

   Для этой функции производная будет: y' = -1/x^2

   Эта функция убывает на всей области определения, ибо производная всегда отрицательна (кроме точки x = 0, где функция не определена).

Чтобы определить убывающие и возрастающие интервалы для функции из пункта 4, нам нужно решить уравнение 3x^2 - 6x = 0:

3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Из этого уравнения видно, что x = 0 и x = 2. Теперь мы можем провести анализ интервалов:

• Если x < 0, то 3x^2 - 6x > 0, значит, функция возрастает на интервале (-∞, 0).
• Если 0 < x < 2, то 3x^2 - 6x < 0, значит, функция убывает на интервале (0, 2).
• Если x > 2, то 3x^2 - 6x > 0, значит, функция снова возрастает на интервале (2, +∞).

Таким образом, мы определили интервалы убывания и возрастания для всех заданных функций.