Question

Точка k не принадлежит плоскости трапеции ABCD (Ad и Bc основание) Докажите что прямая проходящая через середины отрезков KB и KC параллельна прямой AD"

Answer 1

1. Рассмотрим плоскость КВС: треугольник КВС принадлежит этой плоскости. Обозначим середины сторон КВ и КС этого треугольника через Т и М соответственно, тогда ТМ - средняя линия треугольника КВС по определению. А по свойству средней линии ТМ || ВС. Но ВС || AD по определению трапеции, тогда TM || AD. 
Что и требовалось доказать. 

2. Секущая плоскость отсекает от исходного треугольника треугольник РМ1К1 подобный исходному РМК (треугольники подобны по 2-ум углам, т.к. секущая плоскость параллельна МК), а коэффициент подобия равен отношению подобных сторон M1K1 : MK=3:7 = k. Тогда K1P:KP=3:7
Пусть РК1=х, тогда получаем: $\frac{x}{x+20} = \frac{3}{7}$, получаем уравнение: 7х=3х+60, х=15=РК1.

3. Прямая m пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в серединах, а следовательно, совпадает со средней линией треугольника. Средняя линия параллельна основанию АС, значит и m параллельна ему, то есть m || α.

Answer 2

Introduction

To prove that the line passing through the midpoints of segments KB and KC is parallel to the line AD, we need to show that the point K does not belong to the plane of the trapezoid ABCD.

Proof

Let's assume that the point K belongs to the plane of the trapezoid ABCD. In that case, the line passing through the midpoints of segments KB and KC would intersect the line AD.

However, we can prove that the line passing through the midpoints of segments KB and KC does not intersect the line AD by contradiction.

Let's consider the midpoints of segments KB and KC as points M and N, respectively. According to the midpoint theorem, the line segment MN is parallel to the line segment BC and has a length equal to half the length of BC.

Since the line segment MN is parallel to BC, and BC is parallel to AD (as ABCD is a trapezoid), it follows that MN is also parallel to AD.

Now, let's assume that the line passing through points M and N intersects the line AD at point P. Since MN is parallel to AD, the line segment MP is parallel to BC.

However, this leads to a contradiction because MP cannot be both parallel to BC and AD at the same time. Therefore, our assumption that the point K belongs to the plane of the trapezoid ABCD is incorrect.

Hence, we can conclude that the line passing through the midpoints of segments KB and KC is parallel to the line AD.

Summary

In summary, we have proven that the line passing through the midpoints of segments KB and KC is parallel to the line AD by showing that the point K does not belong to the plane of the trapezoid ABCD.