Question

Воспользуйтесь методом замены переменных и решите систему уравнений (x+y)^2 - 7(х +y) + 6 = 0,х + xy + y = 11.​

Answer 1

Ответ:

x = 1, y=5 или x=5, y=1

Пошаговое объяснение:

Заменяешь x+y на t.

t^2-7t+6=0

t+xy=11.

Решаешь первое уравнение через дискриминант или теорему Виета.

Корни получаются 6 и 1. Это значения x+y. Рассмотрим сначала первый вариант, когда x+y=6.

t=6

t+xy=11.

xy=5. Выразим из x+y=6 любую переменную, например x. x=6-y.

Подставим в xy=5.

(6-y)y=5

6y-y^2=5

y^2-6y+5=0

Находишь корни через дискриминант или теорему Виета уже для этого случая.

Корни получаются: 1;5

При y=1 x=5 и при y=5 x=1.

Рассмотрим второй случай, когда x+y=1 (Оно же t=1).

Подставим в t+xy=11.

xy=10

Выразим любую переменную.

x=1-y

(1-y)y=10

y-y^2=10

y^2-y+10=0

У этого выражения нет корней, т.к. дискриминант отрицательный, следовательно ответом будет (1;5),(5;1)

Answer 2

Давайте воспользуемся методом замены переменных. Пусть $u = x + y$, тогда система уравнений примет следующий вид:

1. $(x + y)^2 - 7(x + y) + 6 = 0$ станет $u^2 - 7u + 6 = 0$.
2. $x + xy + y = 11$ останется в неизменном виде.

Решим первое уравнение:

$u^2 - 7u + 6 = 0$

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

$(u - 1)(u - 6) = 0$

Таким образом, получаем два возможных значения $u$: $u = 1$ или $u = 6$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда $u = 1$:

   $x + y = 1$

2. Когда $u = 6$:

   $x + y = 6$

Теперь воспользуемся вторым уравнением системы:

$x + xy + y = 11$

Используем найденные значения $x + y$ для каждого случая:

1. При $x + y = 1$:

   $1 + xy = 11$

2. При $x + y = 6$:

   $6 + 6y = 11$

Решим оба уравнения:

1. $xy = 10$
2. $6y = 5$

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. Когда $x + y = 1$ и $xy = 10$.
2. Когда $x + y = 6$ и $y = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем значения $x$ и $y$ для каждого случая:

1. Для $x + y = 1$ и $xy = 10$:

   Из $x + y = 1$ следует, что $y = 1 - x$. Подставим это в уравнение $xy = 10$:

   $x(1 - x) = 10$

   Решив это уравнение, мы найдем два значения для $x$, а затем можем найти соответствующие значения для $y$.

2. Для $x + y = 6$ и $y = \frac{5}{6}$:

   Подставим $y = \frac{5}{6}$ в $x + y = 6$:

   $x + \frac{5}{6} = 6$

   Решив это уравнение, мы найдем значение для $x$, а затем можем найти значение для $y$.

После решения этих уравнений вы получите значения $x$ и $y$ для каждого случая в системе.