Question

Среди всех равнобедренных треугольников, у которых сумма двух равных сторон и высоты, опущенной на одну из этих сторон, равна 4см, найти треугольник наибольшей площади​

Answer 1

Дано 2а+h=4 . а-боковая сторона h -высота к боеовой стороне.

Площадь S=a*h/2

a=(4-h)/2

4S=(4-h)*h

4S=4-4+4h-h^2

4S=4-(2-h)^2

S = 1-0,25*(2-h)^2

Наибольшее значение выражения при h=2. Однако следует написать ОДЗ h=<a (наклонная больше либо равна перпендикуляру, причем при равенстве они совпадают). Значит  0<h=<4/3. На этом отрезке

максимум S  достигается при h=4/3 а=4/3. Треугольник прямоугольный. S =8/9 см кв.

Answer 2

Для нахождения равнобедренного треугольника с наибольшей площадью из тех, у которых сумма двух равных сторон и высоты, опущенной на одну из этих сторон, равна 4 см, давайте обозначим следующие параметры:

Пусть a - длина равных сторон равнобедренного треугольника, и h - высота, опущенная на одну из этих сторон.

Мы знаем, что a + a + h = 4, что можно упростить до 2a + h = 4.

Теперь, чтобы найти площадь S треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника: S = (1/2) * a * h.

Также у нас есть ограничение 2a + h = 4. Мы можем выразить h через a: h = 4 - 2a.

Теперь подставим это выражение для h в формулу для площади S:

S = (1/2) * a * (4 - 2a).

Чтобы найти максимальную площадь, давайте найдем максимум этой функции. Для этого продифференцируем S по a и приравняем производную к нулю:

dS/da = (1/2) * (4 - 2a) - (1/2) * 2a = 0.

Теперь решим уравнение:

(1/2) * (4 - 2a) - (1/2) * 2a = 0, 2 - a - a = 0, 2 - 2a = 0, -2a = -2, a = 1.

Теперь, когда мы нашли значение a, мы можем найти значение h, используя ограничение:

2a + h = 4, 2 * 1 + h = 4, 2 + h = 4, h = 4 - 2, h = 2.

Таким образом, равнобедренный треугольник с наибольшей площадью, удовлетворяющий условиям задачи, имеет стороны длиной 1 см, и высоту 2 см, опущенную на одну из этих сторон.