Question

Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производных. u = ln(√x+√y)

Answer 1

Ответ:

$u = ln( \sqrt{x} + \sqrt{y} )$

$u'_x = \frac{1}{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \times ( \sqrt{x} + \sqrt{y} )'_x = \\ = \frac{1}{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \times \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \frac{1}{2x + 2\sqrt{xy} }$

$u'_y = \frac{1}{ \sqrt{x} \sqrt{y} } \times ( \sqrt{x} + \sqrt{y} )'_y = \\ = \frac{1}{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \times \frac{1}{2 \sqrt{y} } = \frac{1}{2 \sqrt{xy} + 2y }$

$u''_{xx }= ( {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{ - 1} )' = \\ = - {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{ - 2} \times (2x + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} )'_x = \\ = - \frac{1}{ {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{2} } \times (2 + 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x} } \sqrt{y} ) = \\ = - \frac{2 + \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{x} } }{ {(2x + 2 \sqrt{xy} )}^{2} }$

$u''_{yy} = ( {(2y + 2 \sqrt{xy} ) }^{ - 1} )' = \\ = - {(2y + 2 \sqrt{xy} )}^{ - 2} \times (2y + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} )'_y = \\ = - \frac{1}{ {(2y + 2 \sqrt{xy}) }^{2} } \times (2 + 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{2 \sqrt{y} } ) = \\ = - \frac{2 + \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{y} } }{ {(2y +2 \sqrt{xy} )}^{2} }$

$u''_{xy }= {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{ - 1} ) '= \\ = - {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{ - 2} \times (2x + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} )'_y = \\ = - \frac{1}{ {(2x + 2 \sqrt{xy} )}^{2} } \times (2x + 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{2 \sqrt{y} } ) = \\ = - \frac{2x + \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{y} } }{ {(2x + 2 \sqrt{xy}) }^{2} } = - \frac{2x \sqrt{y} + \sqrt{x} }{ \sqrt{y} (4 {x}^{2} + 8x \sqrt{xy} + 4xy) } = \\ = - \frac{2x \sqrt{y} + \sqrt{x} }{4 {x}^{2} \sqrt{y} + 8xy \sqrt{x} + 4xy \sqrt{y} } = \\ = \frac{ \sqrt{x}(2 \sqrt{xy} + 1) }{ \sqrt{x} (4x \sqrt{xy} + 8xy + 4y \sqrt{xy} )} = \\ = - \frac{2 \sqrt{xy} + 1 }{4x \sqrt{xy} + 8xy + 4y \sqrt{xy} }$

$u''_{yx} = - \frac{1}{ {(2y + 2 \sqrt{xy}) }^{2} } \times (2y + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} )'_x = \\ = - \frac{1}{ {(2y + 2 \sqrt{xy}) }^{2} } \times (2y + 2 \sqrt{y} \times \frac{2}{ \sqrt{x} } ) = \\ = - \frac{2y + \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{x} } }{ {(2y + 2 \sqrt{xy} )}^{2} } = - \frac{2 \sqrt{x} y + \sqrt{y} }{ \sqrt{x}(4 {y}^{2} + 8y \sqrt{xy} + 4xy) } = \\ = - \frac{2 \sqrt{x}y + \sqrt{y} }{4 {y}^{2} \sqrt{x} + 8xy \sqrt{y} + 4x \sqrt{x} y } = \\ = - \frac{ \sqrt{y}(2 \sqrt{xy} + 1) }{ \sqrt{y} (4y \sqrt{xy} + 8xy + 4x \sqrt{xy} ) } = \\ = - \frac{2 \sqrt{xy} + 1 }{4x \sqrt{xy} + 8xy + 4y \sqrt{xy} }$

$u''_{xy} = u'_{yx}$

Answer 2

Давайте начнем с нахождения частных производных первого порядка функции $u$ по переменным $x$ и $y$:

$u = \ln(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

1. Частная производная $u$ по $x$:

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}.$$

2. Частная производная $u$ по $y$:

   $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2y\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}.$$

Теперь найдем частные производные второго порядка:

1. Частная производная второго порядка $u$ по $x$ (по $x$ дважды):

   $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{1}{4x^2(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{1}{4x^2\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})^3}.$$

2. Частная производная второго порядка $u$ по $y$ (по $y$ дважды):

   $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{1}{4y^2(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} + \frac{1}{4y^2\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})^3}.$$

3. Смешанная частная производная $u$ по $x$ и $y$