Question

Помогите решить диференцыалы e^y(y'+1)=1 если y(1) =0

Answer 1

Ответ:

y^4-1

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с начальным условием, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Уравнение: e^y(y' + 1) = 1

Давайте сначала разделим обе стороны на e^y: y' + 1 = 1/e^y

Теперь выразим y': y' = 1/e^y - 1

Теперь мы можем начать решать уравнение. Для удобства введем новую переменную z = e^y. Тогда y = ln(z). Также, y' = dz/dy.

Теперь мы можем переписать уравнение: dz/dy = 1/z - 1

Теперь это уравнение можно разделить переменные, переместив все, связанное с z, на одну сторону, а все, связанное с y, на другую: dz / (1/z - 1) = dy

Теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Интеграл левой стороны может быть вычислен как логарифм натуральный от модуля аргумента в знаменателе: ∫dz / (1/z - 1) = ∫dy

ln|z / (z - 1)| = y + C1

Теперь мы можем возвратиться к переменной y, зная, что z = e^y: ln|e^y / (e^y - 1)| = y + C1

Теперь можно применить начальное условие y(1) = 0: ln|e^1 / (e^1 - 1)| = 1 + C1 ln|e / (e - 1)| = 1 + C1

Теперь мы можем выразить константу C1: C1 = ln|e / (e - 1)| - 1

Таким образом, окончательное решение уравнения будет: ln|e^y / (e^y - 1)| = y + ln|e / (e - 1)| - 1

Можно упростить это решение, если понадобится.