Question

Методом математической индукции докажите что при любом натуральном n выражение 7^n-1 делится на 6​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Обозначим: А(n)=7ⁿ-1.

Если n=1, то А(1)=7¹-1=7-1=6.      ⇒    делится на 6.

Пусть А(k) делится на 6.

Докажем,  что А(k+1) делится на 6,  то есть справедливость утверждения задачи при n=k.

$A(k+1)=7^{k+1}-1=7*7^k-1=7*7^k-7+6=7*(7^k-1)+6=7*A(k)+6.$

Последнее число делится на 6, так как представляет собой сумму двух целых чисел, делящихся на 6. Следовательно, 7ⁿ-1 делится на 6 при любом натуральном n.

Answer 2

1) Проверим истинность утверждения при n=1:

7^1 – 1 = 7 – 1 = 6 – делится на 6, утверждение истинно.

2) Предположим истинность утверждения при n=k и докажем его истинность при n=k+1:

7^(k + 1) – 1 = 7^k · 7 – 1 = 7^k · 7 – 7 + 7 – 1 = 7 · (7^k – 1) + 7 – 1 = 7 · (7^k – 1) + 6

Первое слагаемое 7 · (7^k – 1) делится на 6, поскольку мы предположили верность утверждения при n=k.

Второе слагаемое 6 тоже очевидно делится на 6.

Следовательно, вся сумма [7 · (7^k – 1) + 6] делится на 6, что и требовалось доказать.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения методом математической индукции нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Докажем, что утверждение верно для n = 1.

2. Шаг индукции: Докажем, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно верно и для k + 1.

3. Базовый шаг (n = 1):

При n = 1 у нас есть следующее выражение:

7^1 - 1 = 7 - 1 = 6.

Заметим, что 6 делится на 6 без остатка, так как 6 = 6 * 1. Таким образом, базовый шаг верен.

2. Шаг индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть:

7^k - 1 делится на 6.

Теперь докажем, что оно верно и для k + 1. Рассмотрим следующее выражение:

7^(k+1) - 1.

Мы можем представить 7^(k+1) как произведение 7^k и 7:

7^(k+1) = 7^k * 7.

Теперь давайте выразим 7^k - 1 через это:

7^(k+1) - 1 = (7^k * 7) - 1.

Мы можем разбить это выражение на две части:

(7^k * 7) - 1 = 7^k * 7 - 7^k + 7^k - 1.

Теперь давайте сгруппируем слагаемые:

7^k * 7 - 7^k + 7^k - 1 = 7^k * (7 - 1) + (7^k - 1).

Заметим, что первое слагаемое 7^k * (7 - 1) делится на 6, так как 7 - 1 = 6, и произведение на 6 всегда делится на 6. А второе слагаемое (7^k - 1) также делится на 6 в соответствии с предположением индукции.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных n по принципу математической индукции.

Таким образом, доказано, что 7^n - 1 делится на 6 для любого натурального n.