Question

В каждом из 6 мешков лежит по 12 монет. В одном мешке все монеты имеют вес 1 г, в другом все имеют вес 2 г, и т.д., в каком-то все имеют вес 6 г. Мешки снабжены надписями 1 г, 2 г, ..., 6 г. Мы хотим убедиться, что каждый мешок подписан правильно. Для этого у нас есть двухчашечные весы. Можно ли провести проверку с помощью всего лишь одного взвешивания, если разрешается использовать в нем не более 12 монет?

Answer 1

Відповідь:

Если исключить вариант, когда 1 перепутана с 2, 3 перепутана с 4 и 5 перепутана с 6, то достаточно одного взвешивания, иначе прийдется провести второе взвешивание.

Если бы была одна эталонная гирька на 2 г., то можно было бы обойтись одним взвешиванием.

Покрокове пояснення:

На левую чашу весов ложим 3 монеты по 1 г., 2 монеты по 4 г. и 1 монету 6 г.

3 × 1 + 2 × 4 + 6 = 3 + 8 + 6 = 17 г.

На правую чашу весов ложим 3 монеты по 2 г., 2 монеты по 3 г. и 1 монету 5 г.

3 × 2 + 2 × 3 + 5 = 6 + 6 + 5 = 17 г.

В случае если у нас будет перепутаны надписи на мешках с монетами на разных чашах весов, то весы будут разбалансированы, так как суммарный вес монет на одной чаше весов будет больше 17 г., а на другой чаше весов - меньше 17 г.

В случае если у нас будет перепутаны надписи на мешках с монетами на одной чаше весов, то весы тоже будут разбалансированы, так как количество монет разных номиналов на одной чаше отличаются ( 1, 2 и 3 штуки ) и как следствие суммарный вес монет на одной чаше весов будет больше 17 г., а на другой чаше весов - меньше 17 г.

Остается один вариант, когда этот способ взвешивания не даст 100% гарантии. Когда попарно будут перепутаны надписи на мешках в соответствующих группах ( 1 монета, 2 монеты и 3 монеты ) на разных чашах весов. 1 перепутана с 2, 4 перепутана с 3 и 6 перепутана с 5. В этом случае суммарный вес монет на обеих чашах весов будет равен 17 г. ( чаши поменялись местами ). Для исключения этого варианта понадобится второе взвешивание. На левую чашу весов ложим монеты 1 г. и 5 г., а на правую чашу весов ложим монету 6 г. Если весы находятся в состоянии равновесия, то все надписи на мешках выполнены верно, иначе имеет место попарная ошибка в надписях на всех шести мешках.

Если бы была одна эталонная гирька на 2 г., то можно было бы обойтись одним взвешиванием.

На левую чашу весов ложим 3 монеты по 1 г., 2 монеты по 4 г., 1 монету 5 г. и эталонную гирьку 2 г.

3 × 1 + 2 × 4 + 5 + 2 = 3 + 8 + 5 + 2 = 18г.

На правую чашу весов ложим 3 монеты по 2 г., 2 монеты по 3 г. и 1 монету 6 г.

3 × 2 + 2 × 3 + 5 = 6 + 6 + 6 = 18 г.

В этом случае при попарном перепутывании надписей на мешках в соответствующих группах ( 1 перепутана с 2, 4 перепутана с 3 и 6 перепутана с 5 ), весы прийдут в разбаланс ( на одной чаше будет 20 г., а на второй - 16 г. ).

Answer 2

Да, можно провести проверку с использованием только одного взвешивания. Вот как это можно сделать:

1. Обозначим мешки как A, B, C, D, E, F соответственно весами от 1 г до 6 г.

2. Возьмем из мешков по одной монете: A1, B2, C3, D4, E5, F6 и положим их на левую чашу весов.

3. Положим по одной монете из мешков A, B, C, D, E, F на правую чашу весов, но выберем их так, чтобы их надписи совпадали с предполагаемым весом мешков.

Теперь рассмотрим несколько случаев:

• Если взвешивание сбалансировано, то это означает, что монеты совпали с предполагаемыми весами, и мешки правильно подписаны.

• Если левая чаша тяжелее, то это означает, что вес монет на левой чаше больше, и следовательно, мешок с монетой весом 1 г находится среди мешков A, B, C, D, E, F.

• Если правая чаша тяжелее, то это означает, что мешок с монетой весом 1 г не находится среди мешков A, B, C, D, E, F.

Таким образом, одним взвешиванием можно определить, в каком из мешков A, B, C, D, E, F находится монета весом 1 г. После этого можно повторить аналогичный процесс для монет весом 2 г, 3 г и так далее, используя оставшиеся монеты.