Question

ПОМОГИТЕ!!! СРОЧНО!!!!! В остроугольном треугольнике ABC отмечены ортоцентр H и центр описанной окружности O. Лучи BH и CO пересекаются в точке P, а лучи CH и BO пересекаются в точке Q. Известно, что ∠APH=135∘. Найдите угол AQO, если угол C равен 40∘.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

AH - изогональ к AO отн < BAC

CH пересекает BO в точке Q

BH пересекает CO в точке P

=> по теоремме об изогоналях

AP - изогональ к AQ

<CAP = <BAQ = α

тогда т.к. BB1 - высота

из ΔB1AP

<APH = <PAB1 + 90° = α + 90°

=> α= 45°

из ΔABQ

<AQO = <QAB + <ABQ = α + <ABO

BO - изогональ к BH

=> <ABO = <CBH

из Δ BB1C

<CBH = 90° - <C = 50° = <ABO

=> <AQO = α + <ABO = 45° + 50° = 95°

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства ортоцентра и центра описанной окружности в остроугольном треугольнике.

1. Сначала давайте найдем угол BAC (A - вершина треугольника), используя факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:

   Угол BAC = 180° - Угол ABC - Угол ACB Угол BAC = 180° - 40° - 90° = 90°

2. Теперь мы знаем, что треугольник BAC является прямоугольным треугольником, так как угол BAC равен 90 градусов.

3. Ортоцентр H - это точка пересечения высот треугольника, а центр описанной окружности O - это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку треугольник BAC прямоугольный, все высоты совпадают с его сторонами, и центр описанной окружности O - это середина гипотенузы BC.

4. Поскольку O - середина гипотенузы BC, отрезки BO и CO равны, и мы имеем равенство углов BCO = CBO.

5. Теперь, если мы рассмотрим треугольник BCO, у нас есть два равных угла (BCO и CBO), и сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Значит, угол BOC (BOC = BCO + CBO) равен 90 градусов.

6. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BOC с углом BOC = 90 градусов.

7. Также нам известно, что угол APH = 135 градусов. Так как APH - это угол на прямой, BOC - это его дополнение до 180 градусов. Следовательно, угол BOC = 180° - 135° = 45°.

8. Теперь у нас есть угол BOC = 45 градусов и угол C = 40 градусов. Так как угол BOC больше угла C, то угол BOC - угол C = 45° - 40° = 5°.

9. И, наконец, угол AQO равен половине разницы между углами BOC и C:

   Угол AQO = (BOC - C) / 2 = (5°) / 2 = 2.5°.

Итак, угол AQO равен 2.5 градусам.