Question

√(a+x) - √(a^2/(x+a)) < √(x+2a) . Решить неравенство для всех значений a.

Answer 1

ответ:

√(a+x) - √(a^2/(x+a)) < √(x+2a)

Пошаговое объяснение:

√(a+x) - √(a^2/(x+a)) < √(x+2a)

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом для всех значений "a". Начнем с выражения:

√(a+x) - √(a^2/(x+a)) < √(x+2a)

Первым шагом можно возвести оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней. При этом нужно быть осторожными, так как после возведения в квадрат неравенство может измениться. Вот что мы получим:

(a+x) - (a^2/(x+a)) < (x+2a)

Теперь давайте упростим неравенство:

a + x - a^2/(x+a) < x + 2a

Теперь мы видим, что множители "a" в обоих частях неравенства сокращаются:

x - a^2/(x+a) < x + a

Теперь выразим дробь в левой части общего знаменателя (x + a):

x(x + a) - a^2 < (x + a)^2

Теперь раскроем скобки:

x^2 + ax - a^2 < x^2 + 2ax + a^2

И упростим дальше:

x^2 + ax - a^2 < x^2 + 2ax + a^2

Теперь выразим все на одну сторону неравенства:

0 < 2ax + a^2 - (x^2 + ax - a^2)

0 < 2ax + a^2 - x^2 - ax + a^2

Теперь можно сократить некоторые слагаемые:

0 < a^2 - x^2 + a^2

0 < 2a^2 - x^2

Теперь можно добавить x^2 к обеим сторонам:

x^2 < 2a^2

Теперь извлекаем корень из обеих сторон (учтите, что a может быть отрицательным, поэтому мы используем абсолютное значение):

|x| < √(2a^2)

|x| < |a|√2

Теперь, чтобы найти диапазон значений "x", при которых неравенство выполняется, нужно учитывать знак "a":

Если "a" положительное, то неравенство выполняется для всех значений "x". Если "a" отрицательное, то неравенство выполняется только при -|a|√2 < x < |a|√2.

Итак, для всех значений "a" неравенство выполняется при:

1. Если "a" положительное.
2. Если "a" отрицательное, то -|a|√2 < x < |a|√2.