Question

Точки М и N- середина сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Разложить вектор DC по векторам a = AM и b = AN.​​

Answer 1

Для параллелограмма $ABCD$ можно записать следующие соотношения между векторами:

$\vec{AB}=\vec{DC}$

$\vec{AD}=\vec{BC}$

Так как точка $M$ - середина стороны $BC$, а точка $N$ - середина стороны $CD$, то:

$\vec{BM}=\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\vec{DN}=\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

Распишем векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$:

$\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\vec{AN}=\vec{AD}+\vec{DN}=\vec{BC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

Заметим, что в двух полученных равенствах желательно избавиться от вектора $\vec{BC}$.

Из соотношения для вектора $\vec{AM}$ выразим вектор $\vec{BC}$:

$\vec{AM}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\dfrac{1}{2} \vec{BC}=\vec{AM}-\vec{DC}$

$\vec{BC}=2\vec{AM}-2\vec{DC}$

Подставим в соотношение для вектора $\vec{AN}$:

$\vec{AN}=\vec{BC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

$\vec{AN}=2\vec{AM}-2\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

$\vec{AN}=2\vec{AM}-\dfrac{3}{2} \vec{DC}$

Остается выразить вектор $\vec{DC}$:

$\dfrac{3}{2} \vec{DC}=2\vec{AM}-\vec{AN}$

$3\vec{DC}=4\vec{AM}-2\vec{AN}$

$\vec{DC}=\dfrac{4}{3} \vec{AM}-\dfrac{2}{3} \vec{AN}$

Учитывая, что $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b}=\vec{AN}$:

$\boxed{\vec{DC}=\dfrac{4}{3} \vec{a}-\dfrac{2}{3} \vec{b}}$

Answer 2

Для разложения вектора DC (предполагая, что D и C - это вершины параллелограмма ABCD) по векторам a = AM и b = AN, мы можем воспользоваться правилом треугольника. Вектор DC может быть разложен на два вектора: один, идущий вдоль вектора AM, и другой - вдоль вектора AN.

Разложение вектора DC выглядит следующим образом:

DC = (DC · AM) * (AM/|AM|) + (DC · AN) * (AN/|AN|),

где "·" обозначает скалярное произведение векторов, "AM/|AM|" - нормализованный вектор AM, а "AN/|AN|" - нормализованный вектор AN.

1. Вычислим скалярное произведение DC · AM:

DC · AM = |DC| * |AM| * cos(θ),

где |DC| - длина вектора DC, |AM| - длина вектора AM, а θ - угол между векторами DC и AM.

2. Теперь вычислим скалярное произведение DC · AN:

DC · AN = |DC| * |AN| * cos(φ),

где |AN| - длина вектора AN, а φ - угол между векторами DC и AN.

3. Нормализуем векторы AM и AN:

AM/|AM| = AM / |AM|, AN/|AN| = AN / |AN|.

Теперь мы можем записать разложение вектора DC по векторам a = AM и b = AN:

DC = (|DC| * |AM| * cos(θ)) * (AM / |AM|) + (|DC| * |AN| * cos(φ)) * (AN / |AN|).

Если у вас есть конкретные значения для длин векторов DC, AM и AN, а также углов θ и φ, то вы можете использовать эти значения для вычисления разложения вектора DC.